Question

8．如圖，已知一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象與反比例函數(shù)${y_2}=-\frac{4}{x}$的圖象交于A、B兩點(diǎn)、與x軸交于點(diǎn)M，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)都是-4．求：
（1）一次函數(shù)的解析式；
（2）并利用圖象指出，當(dāng)x為何值時(shí)有y₂＞y₁；
（3）若點(diǎn)N是反比例函數(shù)上一點(diǎn)，△AOB與△OMN面積相等，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求得A和B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可直接求解；
（3）首先求得M的坐標(biāo)，則根據(jù)三角形的面積公式求得△AOB的面積，然后設(shè)出N的縱坐標(biāo)，根據(jù)面積公式求得縱坐標(biāo)，則N的坐標(biāo)即可求解．

解答 解：（1）在y=-$\frac{4}{x}$中，令x=-4，則y=1；令y=-4，得x=1，
則A的坐標(biāo)是（-4，1），B的坐標(biāo)是（1，-4）；
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=1}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
則一次函數(shù)的解析式是：y₁=-x-3；
（2）-4＜x＜0或x＞1；
（3）在y=-x-3中，令y=0，解得：x=-3，
則M的坐標(biāo)是（-3，0）．即OM=3．
則S_△AOB=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{15}{2}$．
設(shè)N的縱坐標(biāo)的絕對值是a，
則$\frac{1}{2}$×3a=$\frac{15}{2}$，
解得：a=5．
當(dāng)N的縱坐標(biāo)是5時(shí)，把y=5代入y=-$\frac{4}{x}$得x=-$\frac{4}{5}$；
當(dāng)N的縱坐標(biāo)是-5時(shí)，把y=-5代入y=-$\frac{4}{x}$得x=$\frac{4}{5}$．
則N的坐標(biāo)是（-$\frac{4}{5}$，5）或（$\frac{4}{5}$，-5）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及利用圖形求三角形的面積，正確求得△AOB的面積是關(guān)鍵．