Question

如圖，△ABC與△ADE都是等邊三角形（三條邊都相等，三個內角都相等的三角形），連接BD、CE交點記為點F．
（1）BD與CE相等嗎？請說明理由．
（2）你能求出BD與CE的夾角∠BFC的度數嗎？
（3）若將已知條件改為：四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，連接BE、DG，交點記為點M（如圖）．請直接寫出線段BE和DG之間的關系？

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形性質得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，求出∠BAD=∠CAE，證出△BAD≌△CAE即可；
（2）根據全等三角形的性質得出∠ABD=∠ACE，根據三角形的內角和定理得出∠ABD+∠BAH+∠AHB=∠ACE+∠HFC+∠FHC=180°即可得出∠HFC=∠BAH=60°；
（3）根據正方形性質得出AB-AD，AE=AG，∠BAD=∠GAE=90°，求出∠BAE=∠DAG，根據SAS證△BAE≌△DAG即可．

解答：解：（1）BD=CE，
理由是：∵△ABC與△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE 中 

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

 
∴△BAD≌△CAE （邊角邊  ），
∴BD=CE；

（2）設BD與AC相交于點H
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠BAH+∠AHB=∠ACE+∠HFC+∠FHC=180°
又∵∠AHB=∠FHC，
∴∠HFC=∠BAH=60°，
即BD與CE的夾角∠BFC為60°，

（3）線段BE和DG之間的關系是BE=DG，BE⊥DG．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，正方形的性質，等邊三角形的性質等知識點的綜合應用．