Question

如圖，已知菱形ABCD中，AD=5，過A作CB的垂線，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AE=4，設(shè)AE所在直線為l，將直線l以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿EC向右運(yùn)動(dòng)，交折線AD-DC于點(diǎn)P，交折線AB-BC于點(diǎn)F，以PF為邊在直線l的右側(cè)作出正方形PFMN．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），正方形PFMN與菱形ABCD重疊部分的面積為S，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)正方形PFMN的頂點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，求出的t值．
（2）當(dāng)正方形PFMN的頂點(diǎn)N在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接DM、PM．是否存在這樣的t值，使△PDM是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的t值，若不存在，則請(qǐng)說明理由．
（3）請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）在Rt△BAE中由勾股定理就可以求出BE的值，就可以求出tan∠ABE=

4

3

，由菱形的性質(zhì)就可以求出∠BAD=∠ABE，由三角函數(shù)值就可以表示出PF的值，由正方形的性質(zhì)就可以得出PN=PF，就有AP+PN=5建立方程求出其解即可；
（2）如圖1，連結(jié)PM，DM．可以分別表示出PM，PD及DM．在進(jìn)行分類討論，當(dāng)PD=PM時(shí)，PD²=PM²，建立方程就可以求出結(jié)論；當(dāng)MP=MD時(shí)，MP²=MD²建立方程就可以求出結(jié)論；當(dāng)DP=DM時(shí)，DP²=DM²建立方程求出結(jié)論即可；
（3）如圖2，圖3，圖4，圖5，圖6，分別求出當(dāng)0≤t≤

15

7

，

15

7

＜t≤3，3＜t≤4，4＜t≤5，5＜t≤8時(shí)，由正方形的面積公式，梯形的面積公式，三角形的面積公式就可以表示出S與t的關(guān)系式．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD∥BC，
∴∠BAD=∠ABE．∠BAD=∠C，
∵AE⊥EC，
∴∠E=90°，
∴BE²+AE²=AB²，．
∵AD=5，
∴AB=BC=CD=5．
∵AE=4，
∴BE²+16=25，
∴BE=3．
∴tan∠ABE=

4

3

，
∴tan∠BAD=tan∠C=

4

3

．
∵AP=t，
∴PF=

4

3

t．
∵四邊形PFMN是正方形，
∴PF=FM=MN=PN=

4

3

t，
∴t+

4

3

t=5，
∴t=

15

7

．
答：t的值為

15

7

；
（2）如圖1，連結(jié)PM，MD．
①∵AF=t，
∴PD=5-t，PF=

4

3

t，
∴ND=5-t-

4

3

t=5-

7

3

t，PM=

4 2

3

t．
在Rt△MND中，由勾股定理，得
MD²=

65

9

t2-

70

3

t+25．
當(dāng)PD=PM時(shí)，
∴PD²=PM²
∴（5-t）²=（

4 2

3

t）²，
∴23t²-90t-225=0，
解得：t₁=

60 2 -45

23

，t₂=

-60 2 -45

23

（舍去）；
②當(dāng)MP=MD時(shí)，
∴MP²=MD²，
∴

32

9

t²=

65

9

t2-

70

3

t+25．
∴11t2-70t+75=0，
解得：t₁=5＞

15

7

（舍去），t₂=

15

11

；
③當(dāng)DP=DM時(shí)，DP²=DM²，
∴（5-t）²=

65

9

t2-

70

3

t+25．
∴

56t2

9

-

40t

3

=0，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

15

7

綜上所述：當(dāng)t=

60 2 -45

23

或t=

15

11

或t=

15

7

時(shí)，△PDM是等腰三角形；
（3）①如圖2，當(dāng)0≤t≤

15

7

時(shí)，
S=PF²=（

4

3

t）²=

16

9

t²；
②如圖3，當(dāng)

15

7

＜t≤3時(shí)，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD∥BC，
∴∠NDC=∠C．
∴tan∠NDC=

4

3

t．
∵PD=5-t，PN=

4

3

t．
∴DN=

4

3

t-（5-t）=

7

3

t-5，
∴NG=

28

9

t-

20

3

．
∴S=

16

9

t2-

1

2

×(

7

3

t-5)(

28

9

t-

20

3

)=-

50

27

t2+

140

9

t-

50

3

；
③如圖4，當(dāng)3＜t≤4時(shí)，
∵PF=PN=4，PD=5-t，
∴DN=t-1，
∴NG=

4

3

t-

4

3

，
S=16-

1

2

×（t-1）（

4

3

t-

4

3

）=-

2

3

t²+

4

3

t+

46

3

；
④如圖5，當(dāng)4＜t≤5時(shí)，
PD=5-t，F(xiàn)C=8-t，
∴S=

1

2

PF（PD+FC）=

1

2

×4（5-t+8-t）=-4t+26；
⑤如圖6，當(dāng)5＜t≤8時(shí)
∵FC=8-t，
∴PF=

32

3

-

4

3

t．
∴S=

1

2

（8-t）（

32

3

-

4

3

t）=

2

3

t²-

32

3

t+

128

3

．
∴S=

16 9 t2(0≤t≤ 15 7 ) - 50 27 t2+ 140 9 t- 50 3 ( 15 7 ＜t≤3) - 2 3 t2+ 4 3 t+ 46 3 (3＜t≤4) -4t+26(4＜t≤5) 2 3 t2- 32 3 t+ 128 3 (5＜t≤8)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的面積公式的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用三角函數(shù)值求解是關(guān)鍵．