Question

如圖：有一軸截面為正三角形的圓錐形容器，內(nèi)部盛水高度為10cm，放入一個(gè)球后，水面恰好與球相切，求球的半徑．（圓錐的體積公式V=πR²h，其中R為底面半徑，h為高線；球的體積公式V=πR³，其中R為球的半徑）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)水的高度以及圓錐形容器的軸截面為等邊三角形得到水的體積，設(shè)出球的半徑表示出球的體積，則根據(jù)放球后總體積V′=V_球+V_水，得到關(guān)于鐵球R的方程，解方程即可．
解答：解：如圖所示，則△ABS為等邊三角形，
∵SG=h=10，DG=×10=，
∴V_水=•DG²•SG=h³．
設(shè)鐵球的半徑為R，
則SO=2R，SG=3R，
在Rt△FSB中，DG=SGtan∠FSB=R，
設(shè)放入球之后，球與水共占體積為V′，
則V′=•（DG）²•SG=（R）²•3R=3πR³，V_球=R³．
依題意，有V′=V_球+V_水，
即3πR³=πR³+h³，
∴R=×10=，
答：鐵球的半徑為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓錐的體積公式、球的體積的求法，屬于中檔題目，也重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力．