Question

2．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BD=4，CD=2，∠ADB=3∠ABD，則AD=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 如圖，作BD的垂直平分線，交AB于點E，連接DE，設(shè)∠ABD=α，證明∠AED=∠ADE=2α，AE=AD；證明AE=2BE（設(shè)為2λ），得到AD=AE=2λ；利用勾股定理，可證明4λ²-4=9λ²-36，解得：λ=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，求出AD即可解決問題．

解答 解：如圖，作BD的垂直平分線，交AB于點E，連接DE，設(shè)∠ABD=α，設(shè)BE=λ，
則BE=DE=λ，BF=DF=2，CF=4；
∴∠ABD=∠EDB=α；
∵∠AED=∠ABD+∠EDB=2α，∠ADB=3∠ABD=3α，
∴∠AED=∠ADE=2α，AE=AD；
∵EF⊥BC，AC⊥BC，
∴EF∥AC，$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$=2，
∴AE=2BE=2λ，
∴AD=AE=2λ；
由勾股定理得：
AC²=AD²-DC²=4λ²-4，
AC²=AB²-BC²=9λ²-36，
∴4λ²-4=9λ²-36，
解得：λ=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴AD=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
故答案為：$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，運用相似三角形的判定及其性質(zhì)來分析．