Question

13．已知a，b，c分別是△ABC的∠A，∠B，∠C的對邊，∠C=90°，且cosB=$\frac{3}{5}$，b-a=3．
（1）求a，b，c的值；
（2）若關(guān)于x的一元二次方程x²-3（m+1）x+m²-9m+20=0有兩個實數(shù)根，是否存在整數(shù)m，使方程兩個實數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊c的平方？如果存在，請求出滿足條件的m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)余弦的定義表示出∠B的鄰邊和斜邊，然后根據(jù)兩邊之差求得三邊的長即可．
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出兩個實數(shù)根的平方和，根據(jù)題意得到關(guān)于m的方程，從而可以求出m的值并驗根．

解答 解：（1）在△ABC中，∠C=90°，cosB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{3}{5}$，
設(shè)a=3k，c=5k，
則b=4k，
又∵b-a=3，
∴4k-3k=k=3，
∴a=9，b=12，c=15；

（2）不妨設(shè)原方程的兩根為x₁，x₂，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=3（m+1），
x₁x₂=m²-9m+20，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9（m+1）²-2（m²-9m+20）
=7m²+36m-31，
由已知有：x₁²+x₂²=152，
∴7m²+36m-31=15²=225，
解這個方程得m₁=-$\frac{64}{7}$，m₂=4，
又∵m必須為整數(shù)，
∴m=4．

點評 此題著重考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系．在利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，要特別注意一定要利用根的判別式進行檢驗．