【題目】如圖1,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC上一點,點F在射線CM上,∠AEF=90°,AE=EF,過點F作射線BC的垂線,垂足為H,連接AC.

(1)試判斷BE與FH的數(shù)量關系,并說明理由;

(2)求證:∠ACF=90°;

(3)如圖2,過A、E、F三點作圓,若EC=4,∠CEF=15°,求AE的長.

【答案】(1)BE=FH(2)證明見解析(3)2π

【解析】

試題分析:(1)由ABE≌△EHF(SAS)即可得到BE=FH

(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,F(xiàn)H=EB,從而可知FHC是等腰直角三角形,FCH為45°,而ACB也為45°,從而可證明

(3)由已知可知EAC=30°,AF是直徑,設圓心為O,連接EO,過點E作ENAC于點N,則可得ECN為等腰直角三角形,從而可得EN的長,進而可得AE的長,得到半徑,得到所對圓心角的度數(shù),從而求得弧長.

試題解析:(1)BE=FH.

理由:∵∠AEF=90°,∠ABC=90°,

∴∠HEF+∠AEB=90°,∠BAE+∠AEB=90°,

∴∠HEF=∠BAE,

在△ABE和△EHF中,

,

∴△ABE≌△EHF(AAS)

∴BE=FH.

(2)由(1)得BE=FH,AB=EH,

正方形ABCD中,BC=AB,∴BE=CH,

∴CH=FH,∴∠HCF=45°,

∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ACB=45°,

∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°.

(3)由(2)知∠HCF=45°,∴CF=FH.

∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°.

如圖2,過點C作CP⊥EF于P,

則CP=CF=FH.

∵∠CEP=∠FEH,∠CPE=∠FHE=90°,

∴△CPE∽△FHE.

,即

∴EF=,

∵△AEF為等腰直角三角形,∴AF=8.

連結AF,取AF中點O,連接OE,

∵∠AEF=90°,∴AF為O的直徑,

則OE=OA=4,∠AOE=90°,

AE的長為:

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加數(shù)的個數(shù)(n

S

1

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2

2+4=6=2×3

3

2+4+6=12=3×4

4

2+4+6+8=20=4×5

5

2+4+6+8+10=30=5×6

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