Question

【題目】請將寬為3cm、長為ncm的長方形（n為正整數(shù)）分割成若干小正方形，要求小正方形的邊長是正整數(shù)且個數(shù)最少．例如，當(dāng)n＝5cm時(shí)，此長方形可分割成如右圖的4個小正方形．

請回答下列問題：

（1）n＝16時(shí)，可分割成幾個小正方形？

（2）當(dāng)長方形被分割成20個小正方形時(shí)，求n所有可能的值；

（3）一般地，n＞3時(shí)，此長方形可分割成多少個小正方形．

Answer 1

【答案】（1）可分割成8個小正方形；（2）n所有可能的值為60或52或53；（3）當(dāng)n＞3時(shí)，此長方形可分割成小正方形為：當(dāng)n＝3k時(shí)，有k個小正方形；當(dāng)n═3k+1時(shí)，有（k+3）個小正方形；當(dāng)n＝3k+2時(shí)，有（k+3）個小正方形．

【解析】

根據(jù)題意，繼續(xù)畫圖分析并總結(jié)規(guī)律，然后再解決下列問題即可.

（1）根據(jù)以上結(jié)論即可求解；

（2）根據(jù)以上結(jié)論即可求解；

（3）根據(jù)總結(jié)規(guī)律整理到一起即可．

解：若n=4=3×1+1時(shí),如下圖所示,此時(shí)共有4=(1+3)個小正方形

若n=7=3×2+1時(shí),如下圖所示,此時(shí)共有5=(2+3)個小正方形

由上可知:當(dāng)n等于3的k倍加1時(shí)，小正方形的個數(shù)為（k+3）個，即當(dāng)n═3k+1時(shí)，有（k+3）個小正方形;

若n=5=3×1+2時(shí),如下圖所示,此時(shí)共有4=(1＋3)個小正方形

若n=8=3×2+2時(shí),如下圖所示,此時(shí)共有5=(2＋3)個小正方形

由上可知: 當(dāng)n等于3的k倍加2時(shí)，小正方形的個數(shù)為（k+3）個，即當(dāng) n＝3k+2時(shí)，有（k+3）個小正方形;

若n=6=3×2時(shí),如下圖所示,此時(shí)共有2個小正方形

若n=9=3×3時(shí),如下圖所示,此時(shí)共有3個小正方形

由上可知: 當(dāng)n等于3的k倍時(shí)，小正方形的個數(shù)為k個，即 n＝3k時(shí)，有k個小正方形；

（1）n＝16＝3×5＋1時(shí)，可分割成5＋3=8個小正方形；

（2）當(dāng)長方形被分割成20個小正方形時(shí)，

若n＝3k時(shí)，此時(shí)k=20，代入解得：n=60；

若n═3k+1時(shí)，此時(shí)k+3=20，解得k=17，代入解得：n═52；

若n＝3k+2時(shí)，此時(shí)k+3=20，解得k=17，代入解得：n═53.

綜上所述：n所有可能的值為60或52或53；

（3）由上可知：當(dāng)n＞3時(shí)，此長方形可分割成小正方形為：

當(dāng)n＝3k時(shí)，有k個小正方形；

當(dāng)n═3k+1時(shí)，有（k+3）個小正方形；

當(dāng)n＝3k+2時(shí)，有（k+3）個小正方形．