Question

【題目】如圖在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AC于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM＝PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當(dāng)∠ABC＝45°時(shí)，BN＝BC，其中正確的是（　　）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

可先證明Rt△MBC和Rt△NBC，由斜邊中點(diǎn)可判定①正確，由△AMB∽△ANC可判定②錯(cuò)誤，證點(diǎn)M，N，B，C共圓，可對(duì)③進(jìn)行判斷，證△BNC為以BC為斜邊的等腰直角三角形，可判斷④正確．

解：∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AC于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)P是Rt△MBC和Rt△NBC的斜邊的中點(diǎn)，

∴MP＝NP＝BC，

故①正確；

∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AC于點(diǎn)N，

∴∠AMB＝∠ANC＝90°，

又∵∠A＝∠A，

∴△AMB∽△ANC，

∴，

故②錯(cuò)誤；

∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AC于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)P是Rt△MBC和Rt△NBC的斜邊的中點(diǎn)，

∴MP＝NP＝BP＝CP＝BC，

∴點(diǎn)M，N，B，C共圓，

∴∠NPM＝2∠ABM，

在Rt△ABM中，∠A＝60°，

∴∠ABM＝30°，

∴∠NPM＝60°，

∵PN＝PM，

∴△PMN是等邊三角形，

故③正確；

當(dāng)∠ABC＝45°時(shí)，△BNC為以BC為斜邊的等腰直角三角形，

∴BN＝BC，

故④正確；

故選：C．