Question

已知x=

n+1 - n

n+1 + n

，y=

n+1 + n

n+1 - n

（n為自然數(shù)），問：是否存在自然數(shù)n，使代數(shù)式19x²+36xy+19y²的值為1 998？若存在，求出n；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：假設(shè)存在，將已知條件化簡，求出x+y=2（2n+1），xy=1，代入19x²+36xy+19y²=1998中看是否有符合條件的2n．

解答：解：不存在．
∵x+y=

n+1 - n

n+1 + n

+

n+1 + n

n+1 - n

=(

n+1

-

n

)2+(

n+1

+

n

)²
=n+1-2

n(n+1)

+n+n+1+n+2

n(n+1)

=4n+2．
xy=

n+1 - n

n+1 + n

•

n+1 + n

n+1- n

=1．
假設(shè)存在n使代數(shù)式19x²+36xy+19y²的值為1998．
即19x²+36xy+19y²=1998．
19x²+19y²=1962，（x²+y²）=

1 962

19

．
（x+y）²=

1 962

19

+

38

19

=

2 000

19

.   x+y=

2 000 19

=

20 95

19

．
由已知條件，得x+y=2（2n+1）．
∵n為自然數(shù)，∴2（2n+1）為偶數(shù)，
∴x+y=

20 95

19

不為整數(shù)．
∴不存在這樣的自然數(shù)n．

點評：此題采用的是反證法：先假設(shè)成立，再推翻假設(shè)，得出不成立．