Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O為邊AB的中點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，AM⊥BC于點(diǎn)M，以點(diǎn)O為圓心，線段OD為半徑的圓與AM相切于點(diǎn)N．
（1）求證：AN=BD；
（2）填空：點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， ①若AB=4，連結(jié)OC，則PC的最大值是；
②當(dāng)∠BOP=時(shí)，以O(shè)，D，B，P為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，連接ON．

∵AM是⊙O的切線，

∴ON⊥AM，

∵OD⊥BC，AM⊥BC，

∴∠ODM=∠ONM=∠DMN=90°，

∴四邊形ODMN是矩形，

∵OD=ON，

∴四邊形ODMN是正方形，

∴OD=ON=DM=MN，

∵OA=OB，OD∥AM，ON∥BM，

∴BD=DM，AN=MN，

∴BD=AN

（2）2 + ；45°或135°
【解析】解：（2）①如圖2中，連接OC、PC．
∵PC≤OC+OP，
∴當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線時(shí)，P、O、C共線時(shí)，PC的值最大，最大值為OC+OP．
由（1）可知，BM=AM，∠AMB=90°，
∴∠B=45°，
∵AB=AC=4，
∴△ABC是等腰直角三角形，BM=AM=MC=2 ，OP=OD=BD=DM= ，
∴OA=2，OC= =2 ，
∴PC的最大值為2 + ；②如圖3中，

由題意以O(shè)，D，B，P為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形
當(dāng)OB為對角線時(shí)，OP∥BD，可得∠BOP=∠ABC=45°，
當(dāng)OB為邊時(shí)，OP′∥BC，可得∠BOP′=180°﹣∠ABC=135°．
綜上所述，當(dāng)∠POB=45°或135°時(shí)，以O(shè)，D，B，P為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形；