【題目】 如圖,E為正方形ABCDAB上一動點(diǎn)(不與A重合),AB=4,將DAE繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BAF,再將DAE沿直線DE折疊得到DME.下列結(jié)論:①連結(jié)AM,則AMFB;②連結(jié)FE,當(dāng)FE、M共線時,AE=4-4;③連結(jié)EF、EC、FC,若FEC是等腰三角形,則AE=4-4;④連結(jié)EF,設(shè)FC、ED交于點(diǎn)O,若FE平分∠BFC,則OFC的中點(diǎn),且AE=2-2,其中正確的個數(shù)有(  )個.

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

①正確.如圖1中,連接AM,延長DEBFJ.想辦法證明BFDJAMDJ即可.

②正確.如圖2中,當(dāng)FE、M共線時,易證∠DEA=DEM=67.5°,在MD上取一點(diǎn)J,使得ME=MJ,連接EJ,設(shè)AE=EM=MJ=x,則EJ=JD=x,構(gòu)建方程即可解決問題.

③正確.如圖3中,連接EC,CF,當(dāng)EF=CE時,設(shè)AE=AF=m,利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

④正確.如圖4中,當(dāng)OF=OC時,設(shè)AE=AF=n.根據(jù)tanCFD=tanEDA,構(gòu)建方程即可解決問題.

解:①如圖1中,連接AM,延長DEBFJ

∵四邊形ABCD是正方形,

AB=AD.∠DAE=BAF=90°,

AE=AF,

∴△BAF≌△DAESAS),

∴∠ABF=ADE,

∵∠ADE+AED=90°,∠AED=BEJ,

∴∠BEJ+EBJ=90°,

∴∠BJE=90°,

DJBF,

由翻折可知:EA=EM,DM=DA,

DE垂直平分線段AM,

BFAM,故①正確,

②如圖2中,當(dāng)F、EM共線時,易證∠DEA=DEM=67.5°

MD上取一點(diǎn)J,使得ME=MJ,連接EJ,

∵∠MEJ=MJE=45°,

∴∠JED=JDE=22.5°,

EJ=JD,設(shè)AE=EM=MJ=x,則EJ=JD=x

則有x+x=4,

x=4-4

AE=4-4故②正確,

③如圖3中,連接EC,CF,當(dāng)EF=CE時,設(shè)AE=AF=m,

則有:2m2=42+4-m2,

m=4-4-4-4(舍棄),

AE=4-4,故③正確,

④如圖4中,當(dāng)OF=OC時,設(shè)AE=AF=n

∵∠FDC=90°,OF=OC,

OF=OD

∴∠OFD=ODF,

tanCFD=tanEDA,

,=,

n=2-2-2-2(舍棄),

AE=2-2,故④正確.

故選:A

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