Question

【題目】如圖，已知圓O是正六邊形ABCDEF外接圓，直徑BE=8，點(diǎn)G、H分別在射線CD、EF上（點(diǎn)G不與點(diǎn)C、D重合），且∠GBH=60°，設(shè)CG=x，EH=y．

（1）如圖①，當(dāng)直線BG經(jīng)過弧CD的中點(diǎn)Q時，求∠CBG的度數(shù)；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)G在邊CD上時，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）聯(lián)結(jié)AH、EG，如果△AFH與△DEG相似，求CG的長．

Answer 1

【答案】（1）∠CBG=15°；（2）（）；（3）CG的長為12

【解析】

（1）連接OQ，根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)和內(nèi)角和求出∠EBC =60°，然后通過弧之間的關(guān)系得出∠BOQ=∠EOQ=90°，又因?yàn)?/span>BO=OQ，得出∠OBQ=∠BQO=45°，最后利用∠CBG=∠EBC-∠OBQ即可求出答案；

（2）在BE上截取EM=HE，連接HM，首先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出是等邊三角形，則有EM=HE=HM=y，∠HME=60°，從而有∠C=∠HMB=120°，然后通過等量代換得出∠GBC=∠HBE，由此可證明△BCG∽△BMH，則有，即，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式可求，因?yàn)辄c(diǎn)Q在邊CD上，則x的取值范圍可求；

（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)G在邊CD上時：又分當(dāng)時和當(dāng)時兩種情況；②當(dāng)點(diǎn)G在CD的延長線上時，同樣分當(dāng)時和當(dāng)時兩種情況，分別建立方程求解并檢驗(yàn)即可得出答案．

解：（1）如圖，連接OQ．

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴BC=DE，∠ABC=120°．

∴，∠EBC=∠ABC=60°．

∵點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，

∴．

∴，

即．

∴∠BOQ=∠EOQ，

又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，

∴∠BOQ=∠EOQ=90°．

又∵BO=OQ，

∴∠OBQ=∠BQO=45°，

∴∠CBG=60°45°=15°．

（2）如圖，在BE上截取EM=HE，連接HM．

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，直徑BE=8，

∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，

∴∠FEB=∠FED=60°．

∵EM=HE，

∴是等邊三角形，

∴EM=HE=HM=y，∠HME=60°，

∴∠C=∠HMB=120°．

∵∠EBC=∠GBH=60°，

∴∠EBC∠GBE=∠GBH∠GBE，

即∠GBC=∠HBE．

∴△BCG∽△BMH，

∴．

又∵CG= x，BE=8，BC=4，

∴，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）．

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在邊CD上時．

由于△AFH∽△EDG，且∠CDE=∠AFE=120°，

① 當(dāng)時，

∵AF=ED，

∴FH=DG，

∴，

即：，解分式方程得．

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，但不符合題意舍去．

② 當(dāng)時，

即：，解分式方程得．

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，但不符合題意舍去．

如圖，當(dāng)點(diǎn)G在CD的延長線上時．

由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°，

① 當(dāng)時，

∵AF=ED，

∴FH=DG

∴，

即：，解分式方程得．

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，但不符合題意舍去．

② 當(dāng)時，

即：，解分式方程得．

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，且符合題意．

∴綜上所述，如果△AFH與△DEG相似，那么CG的長為12．