Question

在直角△ABC中，∠C=90°，直角邊BC與直角坐標(biāo)系中的x軸重合，其內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為P（0，1），若拋物線y=kx²+2kx+1的頂點(diǎn)為A．求：
（1）求拋物線的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向；
（2）用k表示B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)k取何值時(shí)，∠ABC=60°？

Answer 1

【答案】分析：（1）對二次函數(shù)式進(jìn)行變形，可得y=k（x+1）²+（1-k），即得頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-1，1-k），對稱軸就是x=-1，又x=0時(shí)，y=1，說明函數(shù)經(jīng)過（0，1），也就是二次函數(shù)的開口必然向下，即k＜0；
（2）用k的代數(shù)式分別表示AC、BC、AB，利用勾股定理可得相等關(guān)系，可求出OB，即得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在Rt△ABC中利用∠ABC的正切值，可求出k的值，注意k＜0．
解答：解：（1）∵y=kx²+2kx+1
∴對稱軸x=-1，易見拋物線是以Rt△ABC的直角邊AC所在直線為對稱軸，
由題易得A（-1，1-k），又當(dāng)x=0時(shí)，y=1
即拋物線過p（0，1），
故k＜0開口向下．（4分）

（2）如圖，
AC=1-K  BC=CO+OB=1+OB AB=AD+BD=AE+OB=AC-CE+OB=OB-k
由勾股定理得（1-k）²+（1+OB）²=（OB-k）²（4分）

（3）∵∠ABC=60°，
∴
又
∴
∴，
又∵k＜0
∴．（4分）
點(diǎn)評：本題利用了二次函數(shù)的解析式可以變形，勾股定理，以及三角函數(shù)，解一元二次方程等知識．