Question

【題目】如圖，ABCD中，AB=2，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓交邊BC于點(diǎn)E，連接DE、AC、AE．

（1）求證：△AED≌△DCA；
（2）若DE平分∠ADC且與⊙A相切于點(diǎn)E，求圖中陰影部分（扇形）的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD∥BC，

∴四邊形AECD是梯形，

∵AB=AE，

∴AE=CD，

∴四邊形AECD是等腰梯形，

∴AC=DE，

在△AED和△DCA中，

，

∴△AED≌△DCA（SSS）

（2）解：∵DE平分∠ADC，

∴∠ADC=2∠ADE，

∵四邊形AECD是等腰梯形，

∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE，

∵DE與⊙A相切于點(diǎn)E，

∴AE⊥DE，

即∠AED=90°，

∴∠ADE=30°，

∴∠DAE=60°，

∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD=∠DCE=120°，

∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°，

∴S陰影= ×π×22= π．

【解析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)和等腰梯形的判定與性質(zhì)可證得全等；（2）由切線的性質(zhì)定理和等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)求出陰影扇形的圓心角度數(shù)，進(jìn)而求出面積.
【考點(diǎn)精析】利用平行四邊形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．