Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過(guò)A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；

（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CM=MN，且∠CMN=90°時(shí)，求此時(shí)△CMN的面積．

Answer 1

【答案】（１）y=﹣x2+4x；（２）３；（３）（5，﹣5）�。ǎ矗�或

【解析】試題（1）把A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx中，用待定系數(shù)法求a、b的值，即可得拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，直接寫出即可，利用 ×OA×HB即可求出△ABC的面積；（3）過(guò)P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+4m），可得BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，根據(jù)S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，列出以m為未知數(shù)的方程，解得m的值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）當(dāng)CM=MN，且∠CMN=90°時(shí)，分當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)兩種情況求解即可.

試題解析：

（1）把點(diǎn)A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得 解得： ，

∴拋物線表達(dá)式為：y=﹣x2+4x；

（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），

又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），

∴BC=2，

∴S△ABC= ×2×3=3；

（3）過(guò)P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D，

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+4m），

根據(jù)題意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∴S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，

6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），

∴3m2﹣15m=0，

m1=0（舍去），m2=5，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，﹣5）．

（4）當(dāng)CM=MN，且∠CMN=90°時(shí)，分情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

則△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0），

由勾股定理得：MC==，

∴S△CMN=××=．

②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，如圖3，作輔助線，構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，MD=ME=2，

由勾股定理得：CM==，

∴S△CMN=××=；

綜上所述：△CMN的面積為： 或．