Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝（m為常數(shù)，m＞2，x＞0）的圖象過(guò)點(diǎn)P（m，2）和Q（2，m），直線PQ與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)M（x，y）是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A，B．MA交OP于點(diǎn)E，MB交OQ于點(diǎn)F，連接EF，MP，MQ

（1）當(dāng)m＝4時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)2＜x＜m時(shí)，若僅存在唯一的點(diǎn)M使得△MPQ的面積等于m﹣2，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)2＜x＜m時(shí)，記以線段OE，OF為兩直角邊的三角形外接圓面積為S1；記三角形△MEF的外接圓面積為S2；記以PC為直徑的圓面積為S3；記以QD為直徑的圓面積為S4；試比較S1，S2+S3+S4的大小．

Answer 1

【答案】(1) 6;(2) M（4，4）;(3) S1＝S2+S3+S4,理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出直線PQ的解析式，再求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

（2）由題意當(dāng)2＜x＜m時(shí)，若僅存在唯一的點(diǎn)M使得△MPQ的面積等于m﹣2，根據(jù)反比例函數(shù)是關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)的，可知點(diǎn)M在直線y＝x上，可得M（，），然后求出直線PQ的解析式，連接OM交CD于G，求出OG，OM，可得MG的長(zhǎng)，然后結(jié)合P，Q坐標(biāo)，可得PQ的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

（3）設(shè)M（a，），由（2）可知D（0，2+m），C（2+m，0），可得DQ＝，PC＝，然后易得直線OP的解析式為y＝，直線OQ的解析式為y＝，求出E（a，），F（，），再根據(jù)直角三角形外接圓的性質(zhì)和圓的周長(zhǎng)公式求出S1，S2，S3，S4，即可判斷．

解：（1）當(dāng)m＝4時(shí)，Q（2，4），P（4，2），

設(shè)直線PQ的解析式為y＝kx+b(k≠0)，

則，解得：，

∴直線PQ的解析式為y＝﹣x+6，

令y=0則x=6，令x=0則y=6，

∴C（6，0），D（0，6），

∴OC＝OD＝6，

∵∠COD＝90°，

∴CD＝；

（2）∵當(dāng)2＜x＜m時(shí)，若僅存在唯一的點(diǎn)M使得△MPQ的面積等于m﹣2，

∴根據(jù)反比例函數(shù)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，可知點(diǎn)M在直線y＝x上，

∴M（，），

∴OM=，

設(shè)直線PQ的解析式為y＝kx+b(k≠0)，

則，解得：，

∴直線PQ的解析式為y＝﹣x+2+m，

令x=0則y=2+m，令y=0則x=2+m，

∴D（0，2+m），C（2+m，0），

∴CD＝，

連接OM交CD于G，

∵△COD是等腰直角三角形，點(diǎn)M在直線y＝x上，

∴OG⊥CD，

∴OG=，

∴MG＝，

∵P（m，2），Q（2，m），

∴PQ＝，

由題意得：，

解得m＝8或0（舍去），

∴M（4，4）；

（3）設(shè)M（a，），

由（2）可得D（0，2+m），C（2+m，0）

∴DQ＝，PC＝，

易得直線OP的解析式為y＝，直線OQ的解析式為y＝，

∴E（a，），F（，），

∴

，

S3＝S4＝2π，

∴S2+S3+S4＝＝S1，

∴S1＝S2+S3+S4．