【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn),DEAG于E,BFDE,交AG于F.

(1)求證:AF﹣BF=EF;

(2)將ABF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),使得AB與AD重合,記此時點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F′,若正方形邊長為3,求點(diǎn)F′與旋轉(zhuǎn)前的圖中點(diǎn)E之間的距離.

【答案】(1)證明見解析(2)3

【解析】(1)證明:如圖,正方形ABCD,AB=AD,BAD=BAG+EAD=90°。

DEAG,∴∠AED=90°。∴∠EAD+ADE=90°。∴∠ADE=BAF。

BFDE,∴∠AEB=AED=90°。

AED和BFA中,AEB=AED,ADE=BAF,AD = AB。

∴△AED≌△BDA(AAS)。BF=AE。

AF﹣AE=EF,AF﹣BF=EF。

(2)解:如圖,

根據(jù)題意知:FAF′=90°,DE=AF′=AF,

∴∠F′AE=AED=90°,即F′AE+AED=180°。

AF′ED四邊形AEDF′為平行四邊形。

AED=90°,四邊形AEDF′是矩形。

EF′=AD=3

點(diǎn)F′與旋轉(zhuǎn)前的圖中點(diǎn)E之間的距離為3。

(1)由四邊形ABCD為正方形,可得出BAD為90°,AB=AD,進(jìn)而得到BAG與EAD互余,又DE垂直于AG,得到EAD與ADE互余,根據(jù)同角的余角相等可得出ADE=BAF,利用AAS可得出三角形ABF與三角形ADE全等,利用全等三角的對應(yīng)邊相等可得出BF=AE,由AF﹣AE=EF,等量代換可得證

(2)將ABF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn),使得AB與AD重合,記此時點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F′,連接EF′,如圖所示,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出FAF′為直角,AF=AF′,由(1)的全等可得出AF=DE,等量代換可得出DE=AF′=AF,再利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行得到AF′與DE平行,根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得出AEDF′為平行四邊形,再由一個角為直角的平行四邊形為矩形可得出AEDF′為矩形,根據(jù)矩形的對角線相等可得出EF′=AD,由AD的長即可求出EF′的長。

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