Question

12．如圖，在菱形OABC中，∠C=120°，OA=2，以點O為圓心，OB的長為半徑畫弧，交OA的延長線于點D，則圖中陰影部分的面積為5π-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先過點B作BE⊥AD于點E，由在菱形OABC中，∠C=120°，OA=2，可求得BE與OB的長，∠BOD的度數(shù)，然后由S_陰影=S_扇形OBD-S_△BOC求得答案．

解答 解：過點B作BE⊥AD于點E，
∵在菱形OABC中，∠C=120°，OA=2，
∴∠AOC=180°-∠C=60°，∠OAB=∠C=120°，AB=OA=2，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，∠BAE=180°-∠BAO=60°，
∴BE=AB•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，∠BOD=180°-∠AOB=150°，
∴OB=2BE=2$\sqrt{3}$，
∴S_△OBC=S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•BE=$\sqrt{3}$，S_扇形OBD=$\frac{150×π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=5π，
∴S_陰影=S_扇形OBD-S_△BOC=5π-$\sqrt{3}$．
故答案為：5π-$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、扇形的面積公式以及含30°的直角三角形的性質(zhì)．注意求得△OBC與扇形OBD的面積是關(guān)鍵．