Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，cosB＝，先將△ACB繞著頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后再將旋轉(zhuǎn)后的三角形進(jìn)行放大或縮小得到△A′CB′（點(diǎn)A′、C、B′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A、C、B），連接A′A、B′B，如果△AA′B和△AA′B′相似，那么A′C的長是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意當(dāng)點(diǎn)A′在線段BC上且AA′平分∠BAC時(shí)，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．證明△AA′H≌△AA′C（AAS），推出A′C＝A′H，AC＝AH＝2，設(shè)A′C＝A′H＝x，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．

由題意，當(dāng)點(diǎn)A′在線段BC上且AA′平分∠BAC時(shí)，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵cosB＝，AB＝6，

∴BC＝4，AC＝＝2，

∵∠A′AH＝∠A′AC，∠AHA′＝∠ACA′＝90°，AA′＝AA′，

∴△AA′H≌△AA′C（AAS），

∴A′C＝A′H，AC＝AH＝2，設(shè)A′C＝A′H＝x，

在Rt△A′BH中，（4﹣x）2＝x2+（6﹣2）2，

∴x＝3﹣5，

∴A′C＝3﹣5，

故答案為：3﹣5．