【題目】【發(fā)現(xiàn)證明】

如圖1,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小聰把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°ADG,通過證明AEF≌△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD

【類比引申】

1)如圖2,點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上,∠EAF=45°,連接EF,請根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

【聯(lián)想拓展】

2)如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長.

【答案】1DF=EF+BE.理由見解析;2CF=4

【解析】(1)把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,證出△AEF≌△AFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG,即可得出答案;

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,∠EAG=90°,∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,根據(jù)勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2;關(guān)鍵全等三角形的性質(zhì)得到FG=EF,利用勾股定理可得CF.

解:(1DF=EF+BE.理由:如圖1所示,

AB=AD,

∴把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°ADG,可使ABAD重合,

∵∠ADC=ABE=90°,∴點C、DG在一條直線上,∴EB=DG,AE=AG,∠EAB=GAD,

∵∠BAG+GAD=90°,∴∠EAG=BAD=90°,

∵∠EAF=45°,∴∠FAG=EAG﹣∠EAF=90°45°=45°,∴∠EAF=GAF,

EAFGAF中,,∴△EAF≌△GAF,∴EF=FG,∵FD=FG+DG,∴DF=EF+BE;

2)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴將ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°ACG,連接FG,如圖2,

AG=AE,CG=BE,∠ACG=B,∠EAG=90°

∴∠FCG=ACB+ACG=ACB+B=90°,∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2;

又∵∠EAF=45°,而∠EAG=90°,∴∠GAF=90°45°,

AGFAEF中,,∴△AEF≌△AGF,∴EF=FG,

CF2=EF2BE2=5232=16,∴CF=4

“點睛”本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,正方形的性質(zhì)的應用,正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵,此題是一道綜合題,難度較大,題目所給例題的思路,為解決此題做了較好的鋪墊.

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∴AC∥
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∴∠1=
∴BD∥CE(

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銷售方式

直接銷售

粗加工后銷售

精加工后銷售

每噸獲利(元)

100

250

450


(1)現(xiàn)在該公司收購了140噸蔬菜,如果要求在18天內(nèi)全部銷售完這140噸蔬菜,請完成下列表格:

銷售方式

全部直接銷售

全部粗加工后銷售

盡量精加工,剩余部分直接銷售

獲利(元)


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