Question

2．如圖1，將三角形紙片ABC沿折痕AD折疊，使得點(diǎn)C落在AB邊的點(diǎn)G上，展開紙片沿折痕EF再次折疊，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合；
如圖2，將矩形紙片ABCD沿折痕EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合；
如圖3，將矩形紙片ABCD沿折痕EF對折，展開后，將矩形ABEF與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)D都與點(diǎn)F重合．
（1）直接寫圖1中，四邊形AEDF的形狀：菱形．
（2）猜想圖2中四邊形BEDF的形狀，并說明理由．
（3）如圖3中，①若∠MFE=40°，求∠MNG的度數(shù)；②若MP=MN=PQ，請直接寫出矩形長AD與寬AB的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)兩次折疊，得出△AEF為等腰三角形，再根據(jù)EF垂直平分AD，得出AE=DE，AF=DF，最后可得四邊形AEDF的四邊相等，由此可判定四邊形AEDF是菱形；
（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DE=BE，DF=BF，再根據(jù)等角對等邊得出DE=DF，最后根據(jù)“四條邊相等的四邊形為菱形”判定四邊形BEDF是菱形；
（3）①先根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得∠EMF，再根據(jù)折疊求得∠NMF的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠MNG的度數(shù)；②先連接AF，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，判定Rt△MGF≌Rt△MEF，再根據(jù)∠MAG=∠MFG=∠MFE，求得∠EAF=30°，最后根據(jù)EF與AE的數(shù)量關(guān)系得到AB與AD的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）四邊形AEDF是菱形．
證明：如圖1，設(shè)AD與EF交于點(diǎn)G，
由第一次折疊得，∠BAD=∠CAD，
由第二次折疊得，AD被EF垂直平分，
∴∠AGE=∠AGF=90°，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF為等腰三角形，
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，
∴AE=DE=AF=DF，
∴四邊形AEDF是菱形．
故答案為：菱形；

（2）四邊形BEDF是菱形，
理由：如圖2，連接BD，由折疊的性質(zhì)可知，BD被EF垂直平分，
∴DE=BE，DF=BF．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
由折疊得，∠BFE=∠DFE
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
∴DE=BE=DF=BF，
∴四邊形BEDF是菱形；

（3）①如圖3，若∠MFE=40°，由折疊可知：∠EMF=90°-40°=50°，
∴∠NMF=（180°-50°）×$\frac{1}{2}$=65°，
∵M(jìn)F∥NG，
∴∠MNG=180°-∠NMF=115°；
②矩形長AD與寬AB的數(shù)量關(guān)系為：AD=2$\sqrt{3}$AB
理由：連接AF，則菱形ANFM中，MG⊥FG，∠MAG=∠MFG，MG=$\frac{1}{2}$MN，
由折疊可得，MF=PF，EF⊥MP
∴ME=$\frac{1}{2}$MP
∴MG=ME
在Rt△MGF和Rt△MEF中
$\left\{\begin{array}{l}{MG=ME}\\{MF=MF}\end{array}\right.$
∴Rt△MGF≌Rt△MEF（HL）
∴∠MFG=∠MFE
∴∠MAG=∠MFG=∠MFE
又∵∠MAG+∠MFG+∠MFE=90°
∴∠MAG=∠MFG=∠MFE=30°
∴直角三角形AEF中，$\frac{EF}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$\frac{EF}{AD}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$
∵EF=AB
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$
即矩形長AD與寬AB的數(shù)量關(guān)系為：AD=2$\sqrt{3}$AB

點(diǎn)評 本題以折疊為背景考查了軸對稱的性質(zhì)以及菱形的判斷與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法．解題時(shí)注意：折疊的問題的本質(zhì)是軸對稱性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)要抓住“對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等”這些等量關(guān)系．