Question

如圖所示，已知P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，則PC的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BP使點(diǎn)E在正方形ABCD的外部，且BE=PB，連接AE、PE、PC，然后求出PE=

2

PB，再求出∠ABE=∠CBP，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CBP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=PC，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知點(diǎn)A、P、E三點(diǎn)共線時(shí)AE最大，也就是PC最大．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BP，且BE=PB，連接AE、PE、PC，
則PE=

2

PB=4

2

，
∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90°，
∴∠ABE=∠CBP，
在△ABE和△CBP中，

AB=BC ∠ABE=∠CBP BE=PB

，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴AE=PC，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，點(diǎn)A、P、E三點(diǎn)共線時(shí)AE最大，
此時(shí)AE=AP+PE=3+4

2

，
所以，PC的最大值是3+4

2

．
故答案為：3+4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能巧妙利用三角形全等的知識(shí)，構(gòu)造全等三角形，把求PC的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成求AE的長(zhǎng)．