Question

如圖，直線l₁的函數(shù)表達(dá)式為y₁=-3x+3，且l₁與x軸交于點(diǎn)D，直線l₂：y₂=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A，B，與直線l₁交于點(diǎn)C．
（1）求直線l₂的函數(shù)表達(dá)式，并利用圖象回答，何時(shí)y₁＞y₂；
（2）求△ADC的面積；
（3）在直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)E，和A，C，D構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)直接寫出E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l₂：y₂=kx+b，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線l₂的函數(shù)表達(dá)式，觀察圖象可知，在C點(diǎn)的左側(cè)，直線l₁落在直線l₂的上方，即當(dāng)x的值為小于點(diǎn)C橫坐標(biāo)的值時(shí)，y₁＞y₂，將直線l₁與直線l₂的解析式聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）先由直線l₁：y₁=-3x+3與x軸交于點(diǎn)D，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：①以AC為對(duì)角線；②以AD為對(duì)角線；③以CD為對(duì)角線；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可確定E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（4，0）、B（3，-

3

2

）在直線l₂：y₂=kx+b上，
∴

4k+b=0 3k+b=- 3 2

，
解之得：

k= 3 2 b=-6

，
∴直線l₂的解析式為y₂=

3

2

x-6；
由

y=-3x+3 y= 3 2 x-6

，解得

x=2 y=-3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-3）．
由圖象可知，當(dāng)x＜2時(shí)，y₁＞y₂；

（2）∵點(diǎn)D是直線l₁：y=-3x+3與x軸的交點(diǎn)，
∴y=0時(shí)，0=-3x+3，
解得x=1，
∴D（1，0），
∵A（4，0），
∴AD=4-1=3，
∴△ADC的面積=

1

2

×3×3=

9

2

；

（3）分三種情況：
①以AC為對(duì)角線時(shí)，
∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴CE∥DA，CE=DA=3，
∴將點(diǎn)C（2，-3）向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn)E，即E₁（5，-3）；
②以AD為對(duì)角線時(shí)，
∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴CE與AD互相平分，即CE與AD的中點(diǎn)重合，則E₂（3，3）；
③以CD為對(duì)角線時(shí)，
∵四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE∥AD，CE=AD=3，
∴將點(diǎn)C（2，-3）向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)E，即E₃（-1，-3）；
綜上所述，符合條件的E點(diǎn)的坐標(biāo)為E₁（5，-3）、E₂（3，3）、E₃（-1，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度不大，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．