Question

如圖，已知拋物線與x軸有兩個交點A，B，點A在x軸的正半軸上，點B在x軸的負半軸上，且OA=OB．
（1）求m的值；
（2）求拋物線的表達式，并寫出拋物線的對稱軸和頂點C的坐標；
（3）問拋物線上是否存在一點M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線與y軸交于正半軸，且OA=OB，結(jié)合圖象得出m-3＞0，5-=0，即可得出答案；
（2）利用（1）中m的值得出二次函數(shù)解析式，即可得出頂點坐標；
（3）根據(jù)A、B兩點的坐標分別為A（2，0），B（-2，0），得出△OAC是等腰直角三角形，假設(shè)存在一點M，使△MAC≌△OAC，進而得出M點的坐標，進而得出答案．
解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于正半軸，且OA=OB
∴，
解得m=5（2分）；

（2）拋物線的表達式為（3分），
對稱軸是y軸，頂點C的坐標是（0，2）（5分）；

（3）令y=0，得，
解得：x=±2，
故A、B兩點的坐標分別為A（2，0），B（-2，0），
則△OAC是等腰直角三角形．（6分）
假設(shè)存在一點M，使△MAC≌△OAC．
∵AC為公共邊，OA=OC，
∴點M與點O關(guān)于直線AC對稱．（8分）
則四邊形OAMC是正方形，
∴M點的坐標為（2，2）（9分），
當(dāng)x=2時，，
∴點M（2，2）不在拋物線上，
即不存在點M，使△MAC≌△OAC．（11分）
點評：此題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及頂點坐標的求法和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是這部分考查的重點，同學(xué)們應(yīng)重點掌握．