Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），E（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，且該函數(shù)的最大值是4．
（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

 

，

 

）；
（2）求該拋物線的解析式和B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)是D，求四邊形AEDB的面積；
（4）若拋物線y=mx²+nx+p與上圖中的拋物線關(guān)于x軸對稱，請直接寫出m的值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閽佄锞�與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），E（3，0），所以可求出對稱軸即頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又函數(shù)的最大值是4，所以可求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是：4；
（2）設(shè)出函數(shù)的頂點(diǎn)式表達(dá)式為y=a（x-h）²+k，由（1）知h，k，再把A或E點(diǎn)的再把代入可求出a，所以函數(shù)的解析式明確了，B點(diǎn)的坐標(biāo)即函數(shù)x=0時(shí)的函數(shù)值．
（3）把四邊形AEDB的面積分割為S_△AOB⁺S_△DHE⁺S_{梯形BOHD可得問題答案．}
（4）若拋物線y=mx²+nx+p和已知拋物線關(guān)于x軸對稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），E（3，0），
∴拋物線的對稱軸是x=

3-1

2

=1，
∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是：1，
∵函數(shù)的最大值是4．
∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是：4，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∴y=a（x-1）²+4，
又∵拋物線過點(diǎn)A（-1，0），∴4a+4=0，解得a=-1．
∴y=-x²+2x+3（或y=-（x-1）²+4為所求）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴B（0，3）．

（3）過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵A（-1，0），B（0，3），∴OA=1，OB=3，
∴S_△AOB=

1

2

×OA×OB=

3

2

；
又∵D（1，4），E（3，0），∴DH=4，EH=2
∴S_△DHE=

1

2

×DH×HE=4；
又∵B（0，3），D（1，4），∴S_梯形BOHD=

1

2

×（OB+DH）×OH=

7

2

；
∴S_{四邊形AEDB}=S_△AOB+S_梯形BOHD+S_△DHE=9．

（4）m=1．

點(diǎn)評：本題考查了求二次函數(shù)的解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及特殊的點(diǎn)圍成的圖象的面積，綜合性很強(qiáng)，難度不大．