【題目】如圖,已知BF是⊙O的直徑,A為⊙O上(異于B、F)一點(diǎn),⊙O的切線MA與FB的延長線交于點(diǎn)M;P為AM上一點(diǎn),PB的延長線交⊙O于點(diǎn)C,D為BC上一點(diǎn)且PA=PD,AD的延長線交⊙O于點(diǎn)E.

(1)求證: = ;
(2)若ED、EA的長是一元二次方程x2﹣5x+5=0的兩根,求BE的長;
(3)若MA=6 ,sin∠AMF= ,求AB的長.

【答案】
(1)證明:連接OA、OE交BC于T.

∵AM是切線,

∴∠OAM=90°,

∴∠PAD+∠OAE=90°,

∵PA=PD,

∴∠PAD=∠PDA=∠EDT,

∵OA=OE,

∴∠OAE=∠OEA,

∴∠EDT+∠OEA=90°,

∴∠DTE=90°,

∴OE⊥BC,

=


(2)∵ED、EA的長是一元二次方程x2﹣5x+5=0的兩根,

∴EDEA=5,

= ,

∴∠BAE=∠EBD,∵∠BED=∠AEB,

∴△BED∽△AEB,

= ,

∴BE2=DEEA=5,

∴BE=


(3)作AH⊥OM于H.

在Rt△AMO中,∵AM=6 ,sin∠M= = ,設(shè)OA=m,OM=3m,

∴9m2﹣m2=72,

∴m=3,

∴OA=3,OM=9,

易知∠OAH=∠M,
tan∠OAH=,

∴OH=1,AH=2 .BH=2,

∴AB= =


【解析】(1)要證兩弧相等,可由垂徑定理的推論須證直徑垂直于弧所對(duì)的弦即可,須連結(jié)OE,證OEBC;(2)利用第(1)問的結(jié)論 = ,∴∠BAE=∠EBD,可得△BED∽△AEB,由對(duì)應(yīng)邊成比例可得BE2=DEEA,再由根與系數(shù)的關(guān)系得DEEA=5,即BE= ;(3)利用三角函數(shù)的基本方法是把這個(gè)角放到直角三角形中,因此須作AH⊥OM于H,由正弦求出對(duì)邊=,再轉(zhuǎn)化∠OAH=∠M,由正弦求正切,求出OH,進(jìn)而算出BH,利用勾股定理算出AB.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的根與系數(shù)的關(guān)系和切線的性質(zhì)定理,需要了解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定;兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商;切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)①∠ABN的度數(shù)是 ;②∵AM //BN,∴∠ACB=∠ ;

(2)求∠CBD的度數(shù);

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化?若不變化,請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系,并說明理由;若變化,請(qǐng)寫出變化規(guī)律.

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