Question

【題目】數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動(dòng)，過程如下：

如圖①，正方形ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．

（1）求證：AP=CQ；

（2）如圖②，小明在圖①的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點(diǎn)E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜測(cè)他的結(jié)論并證明．

（3）如圖③，固定三角板直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，使三角板的一邊交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接PE，若AB：AP=3：4，請(qǐng)幫小明算出△ DEQ的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PE=QE，證明見解析；（3）

【解析】分析：(1)用ASA證明△ADP≌△CDQ；(2)用SAS證明△DEP≌△DEQ；(3)設(shè)QE＝PE＝x，則BE＝14－x，在Rt△BPE中，由勾股定理求QE，得S△DEQ，又△DEP≌△DEQ，則可求解.

詳解：(1)證明：∵∠ADC＝∠PDQ＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．

在△ADP與△CDQ中，∠DAP＝∠DCQ＝90°，AD＝CD，∠ADP＝∠CDQ，

∴△ADP≌△CDQ(ASA)，∴AP＝CQ．

(2)PE＝QE．

證明：由(1)可知△ADP≌△CDQ，∴DP＝DQ．

∵DE平分∠PDQ，∴∠PDE＝∠QDE.

在△DEP與△DEQ中，DP＝DQ，∠PDE＝∠QDE，DE＝DE.

∴△DEP≌△DEQ(SAS)∴PE＝QE．

(3)解：∵AB：AP＝3：4，AB＝6，∴AP＝8，BP＝2．

與(1)同理，可以證明△ADP≌△CDQ，∴CQ＝AP＝8．

與(2)同理，可以證明△DEP≌△DEQ，∴PE＝QE．

設(shè)QE＝PE＝x，則BE＝BC＋CQ－QE＝14－x．

在Rt△BPE中，由勾股定理得：

解得：x＝，即QE＝．

∴S△DEQ＝QECD＝××6＝．

∵△DEP≌△DEQ，

∴S△DEP＝S△DEQ＝．