Question

如圖，在矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與C、D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，M為PQ中點．

（1）求證：△ADP∽△ABQ；

（2）若AD=10，AB=20，點P在邊CD上運動，設(shè)CP=x，BM²=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM的最小值；

（3）若AD= a，AB=，DP=8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化．當點M落在矩形ABCD內(nèi)部時，求a的取值范圍。

Answer 1

（1）∵∠QAP=∠BAD=90°，∴∠QAB=∠PAD。

又∵∠ABQ=∠ADP=90°，∴△ADP∽△ABQ。

（2）∵CP =x，CD=AB=20，∴DP =CD﹣DP=。

∵△ADP∽△ABQ，∴，即。

∴QB=。

在Rt△BMN中，由勾股定理得，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：（0＜x＜20）。

         ∵，

∴當x=12即CP=8時，y取得最小值為45，BM的最小值為。

（3）設(shè)PQ與AB交于點E。

∵MN為中位線，∴。

∵MN＞BE，∴，解得。即。

∵，∴。

∴當點M落在矩形ABCD愉部時，a的取值范圍為：。

【考點】單動點問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，矩形的性質(zhì)，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解不等式。