【題目】如圖,以菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣2 ,0)、(0,﹣ ),直線(xiàn)DE⊥DC交AC于E,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿著A→D→C的路線(xiàn)向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)△PDE的面積為S(S≠0),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求直線(xiàn)DE的解析式;
(2)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),∠EPD+∠DCB=90°?并求出此時(shí)直線(xiàn)BP與直線(xiàn)AC所夾銳角的正切值.

【答案】
(1)

解:由菱形的對(duì)稱(chēng)性可得,C(2 ,0),D(0, ),

∴OD= ,OC=2 ,tan∠DCO= = ,

∵DE⊥DC,

∴∠EDO+∠CDO=90°,

∵∠DCO+∠CD∠=90°,

∴∠EDO=∠DCO,

∵tan∠EDO=tan∠DCO= ,

,

∴OE= ,

∴E(﹣ ,0),

∴D(0, ),

∴直線(xiàn)DE解析式為y=2x+


(2)

解:由(1)得E(﹣ ,0),

∴AE=AO﹣OE=2 =

根據(jù)勾股定理得,DE= = ,

∴菱形的邊長(zhǎng)為5,

如圖1,

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD,

∴sin∠DAO= ,

∴EF= = ,

當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng),即0≤t< ,

S= PD×EF= ×(5﹣2t)× =﹣ t+

如圖2,

點(diǎn)P在DC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),即 <t≤5時(shí),

S= PD×DE= ×(2t﹣5)× = t﹣ ;

∴S=


(3)

解:設(shè)BP與AC相交于點(diǎn)Q,

在菱形ABCD中,∠DAB=∠DCB,DE⊥DC,

∴DE⊥AB,

∴∠DAB+∠ADE=90°,

∴∠DCB+∠ADE=90°,

∴要使∠EPD+∠DCB=90°,

∴∠EPD=∠ADE,

當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖3,

∵∠EPD=∠ADE,

∴EF垂直平分線(xiàn)PD,

∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2

∴2t=5﹣ ,

∴t= ,

此時(shí)AP=1,

∵AP∥BC,

∴△APQ∽△CBQ,

,

,

∴AQ= ,

∴OQ=OA﹣AQ= ,

在Rt△OBQ中,tan∠OQB= = = ,

當(dāng)點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖4,

∵∠EPD=∠ADE,∠EDP=∠EFD=90°

∴△EDP∽△EFD,

,

∴DP= = =

∴2t=AD﹣DP=5+ ,

∴t= ,

此時(shí)CP=DC﹣DP=5﹣ = ,

∵PC∥AB,

∴△CPQ∽△ABQ,

,

,

∴CQ= ,

∴OQ=OC﹣CQ=2 = ,

在Rt△OBD中,tan∠OQB= = =1,

即:當(dāng)t= 時(shí),∠EPD+∠DCB=90°.此時(shí)直線(xiàn)BP與直線(xiàn)AC所夾銳角的正切值為

當(dāng)t= 時(shí),∠EPD+∠DCB=90°.此時(shí)直線(xiàn)BP與直線(xiàn)AC所夾銳角的正切值為1


【解析】(1)先有菱形的對(duì)稱(chēng)性得出點(diǎn)C,D坐標(biāo),然后用∠DCO的正切值,以及等角的三角函數(shù)值相等列出方程,最后用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)DE解析式.(2)先求出菱形的邊長(zhǎng),再求出EF,分點(diǎn)P在AD和DC邊上,用面積公式求解;(3)先求出∠EPD=∠ADE,分兩種情況用由菱形的邊長(zhǎng)建立方程求出時(shí)間t,用相似三角形的比例式建立方程求出OQ,解直角三角形即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】一種商品的標(biāo)準(zhǔn)價(jià)格是200元,但隨著季節(jié)的變化,商品的價(jià)格可浮動(dòng),想一想.

的含義是什么?

請(qǐng)你計(jì)算出該商品的最高價(jià)格和最低價(jià)格;

如果以標(biāo)準(zhǔn)價(jià)為標(biāo)準(zhǔn),超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)價(jià)記“”,低于標(biāo)準(zhǔn)價(jià)記“”,該商品價(jià)格的浮動(dòng)范圍又可以怎樣表示?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,△ABC中AB=AC=4,∠C=72°,D是AB中點(diǎn),點(diǎn)E在AC上,DE⊥AB,則cosA的值為(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為4 的等邊△ABC的內(nèi)心,將△OBC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△OB1C1 , B1C1交BC于點(diǎn)D,B1C1交AC于點(diǎn)E,則DE=

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,AB為⊙O直徑,C為⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)D是 的中點(diǎn),DE⊥AC于E,DF⊥AB于F.
(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若OF=4,求AC的長(zhǎng)度.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了切實(shí)關(guān)注、關(guān)愛(ài)貧困家庭學(xué)生,某校對(duì)全校各班貧困家庭學(xué)生的人數(shù)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),以便國(guó)家精準(zhǔn)扶貧政策有效落實(shí).統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)班上貧困家庭學(xué)生人數(shù)分別有2名、3名、4名、5名、6名,共五種情況.并將其制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
(1)求該校一共有多少個(gè)班?并將條形圖補(bǔ)充完整;
(2)某愛(ài)心人士決定從2名貧困家庭學(xué)生的這些班級(jí)中,任選兩名進(jìn)行幫扶,請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖的方法,求出被選中的兩名學(xué)生來(lái)自同一班級(jí)的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知,下列n(n為正整數(shù))個(gè)關(guān)于x的一元二次方程: ①x2﹣1=0,②x2+x﹣2=0,③x2+2x﹣3=0,④x2+3x﹣4=0,…,,…

(1)上述一元二次方程的解為①________,②________,③________,④________.

(2)猜想:第n個(gè)方程為________,其解為________.

(3)請(qǐng)你指出這n個(gè)方程的根有什么共同的特點(diǎn)(寫(xiě)出一條即可).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如果一個(gè)多邊形的各邊都相等,且各內(nèi)角也都相等,那么這個(gè)多邊形就叫做正多邊形,如圖,就是一組正多邊形,觀察每個(gè)正多邊形中的變化情況,解答下列問(wèn)題.

(1)將下面的表格補(bǔ)充完整:

(2)根據(jù)規(guī)律,是否存在一個(gè)正n邊形,使其中的?若存在,直接寫(xiě)出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)根據(jù)規(guī)律,是否存在一個(gè)正n邊形,使其中的?若存在,直接寫(xiě)出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,6),將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<90°),得到正方形CDEF,ED交線(xiàn)段AB于點(diǎn)G,ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交線(xiàn)段OA于點(diǎn)H,連CH、CG.

(1)求證:CBG≌△CDG;

(2)求HCG的度數(shù);并判斷線(xiàn)段HG、OH、BG之間的數(shù)量關(guān)系,說(shuō)明理由;

(3)連結(jié)BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,四邊形AEBD能否為矩形?如果能,請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案