【題目】如圖,AB為⊙O直徑,C為⊙O上一點,點D是 的中點,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F.
(1)判斷DE與⊙O的位置關系,并證明你的結論;
(2)若OF=4,求AC的長度.

【答案】
(1)解:DE與⊙O相切.

證明:連接OD、AD,

∵點D是 的中點,

=

∴∠DAO=∠DAC,

∵OA=OD,

∴∠DAO=∠ODA,

∴∠DAC=∠ODA,

∴OD∥AE,

∵DE⊥AC,

∴DE⊥OD,

∴DE與⊙O相切


(2)解:連接BC交OD于H,延長DF交⊙O于G,

由垂徑定理可得:OH⊥BC, = =

= ,

∴DG=BC,

∴弦心距OH=OF=4,

∵AB是直徑,

∴BC⊥AC,

∴OH∥AC,

∴OH是△ABC的中位線,

∴AC=2OH=8.


【解析】(1)先連接OD、AD,根據(jù)點D是 的中點,得出∠DAO=∠DAC,進而根據(jù)內(nèi)錯角相等,判定OD∥AE,最后根據(jù)DE⊥OD,得出DE與⊙O相切;(2)先連接BC交OD于H,延長DF交⊙O于G,根據(jù)垂徑定理推導可得OH=OF=4,再根據(jù)AB是直徑,推出OH是△ABC的中位線,進而得到AC的長是OH長的2倍.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用三角形中位線定理和垂徑定理的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半;垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條。

練習冊系列答案
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【題目】為了解學生體育訓練的情況,某市從全市九年級學生中隨機抽取部分學生進行了一次體育科目測試(把成績結果分為四個等級:A級:優(yōu)秀;B級:良好;C級:及格;D級:不及格),并將測試結果繪成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題:
(1)求本次抽樣測試的學生人數(shù);
(2)求扇形圖中∠α的度數(shù),并把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)該市九年級共有學生9000名,如果全部參加這次體育測試,則測試等級為D的約有多少人?

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(1)①若m=50,則射線OC的方向是________;

②圖中與∠BOE互余的角有__________,與∠BOE互補的角有__________

(2)若射線OA是∠BON的平分線,則∠BOS與∠AOC是否存在確定的數(shù)量關系?如果存在,請寫出你的結論以及計算過程;如果不存在,請說明理由.

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(1)求直線DE的解析式;
(2)求S與t之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(3)當t為何值時,∠EPD+∠DCB=90°?并求出此時直線BP與直線AC所夾銳角的正切值.

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【題目】閱讀下列材料并回答問題: 材料1:如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,記 ,那么三角形的面積為
古希臘幾何學家海倫(Heron,約公元50年),在數(shù)學史上以解決幾何測量問題而聞名.他在《度量》一書中,給出了公式①和它的證明,這一公式稱海倫公式.
我國南宋數(shù)學家秦九韶(約1202﹣﹣約1261),曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式:
下面我們對公式②進行變形: = = = = =
這說明海倫公式與秦九韶公式實質上是同一公式,所以我們也稱①為海倫﹣﹣秦九韶公式.
問題:如圖,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=7,⊙O內(nèi)切于△ABC,切點分別是D、E、F.

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