Question

【題目】（探索發(fā)現(xiàn)）

如圖1，是一張直角三角形紙片，，小明想從中剪出一個(gè)以為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗(yàn)證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為______．

（拓展應(yīng)用）

如圖2，在中，，BC邊上的高，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，求出矩形PQMN面積的最大值用含a、h的代數(shù)式表示；

（靈活應(yīng)用）

如圖3，有一塊“缺角矩形”ABCDE，，，，，小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形為所剪出矩形的內(nèi)角，直接寫出該矩形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）當(dāng)時(shí)，矩形BGPH的面積取得最大值，最大值為567．

【解析】

（1）由中位線知EF=BC、ED=AB、由可得；

（2）由△APN∽△ABC知，可得PN=a-，設(shè)PQ=x，由S矩形PQMN=PQPN=，據(jù)此可得；

（3）結(jié)合圖形過DE上的點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GP交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)I，過點(diǎn)P作PH⊥AB，設(shè)PG=x，知PI=28-x，由△EIP∽△EKD知，據(jù)此求得EI=，PH=，再根據(jù)矩形BGPH的面積S=可得答案．

解：、ED為中位線，

，，，，

又，

四邊形FEDB是矩形，

則，

故答案為：；

，

∽，

，可得，

設(shè)，由，

當(dāng)時(shí)，最大值為．

如圖，過DE上的點(diǎn)P作于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GP交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)I，過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，

則四邊形AHPI和四邊形BGPH均為矩形，

設(shè)，則，

，，，，

，，

由∽知，

即，得，

，

則矩形BGPH的面積，

當(dāng)時(shí)，矩形BGPH的面積取得最大值，最大值為567．