【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=4cm,AD=3cm,動點M,N分別從點D,B同時出發(fā),都以1cm/s的速度運動.點M沿DA向終點A運動,點N沿BC向終點C運動.過點N作NP⊥BC,交AC于點O,連接MP.已知動點運動了ts(0<t<3).
(1)當t為多少時,PM∥AB?
(2)若四邊形CDMP的面積為S,試求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)在運動過程中,是否存在某一時刻t使四邊形CDMP面積與四邊形ABCD面積比為3:8?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
(4)在點M,N運動過程中,△MPA能否成為一個等腰三角形?若能,求出所有可能的t值;若不能,試說明理由.
【答案】(1)當t=時,PM∥AB;(2)s=t2﹣2t+6;(3)t=時四邊形CDMP的面積與四邊形ABCD的面積比為3:8;(4)當t=1或t=或t=時,△MPA是等腰三角形.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件得到PM與PN共直線,求得MN∥AB,列方程即可得到結(jié)論;
(2)延長NP交AD于點Q,則PQ⊥AD,由△PNC∽△ABC得即根據(jù)S四邊形CDMP=S△ACD﹣S△AMP可得;
(3)由解方程可得;
(4)本題要分三種情況:①MP=PA,那么AQ=BN=AM,可用x分別表示出BN和AM的長,然后根據(jù)上述等量關(guān)系可求得x的值.②MA=MP,在直角三角形MQP中,MQ=MA﹣BN,PQ=AB﹣PN根據(jù)勾股定理即可求出x的值.③MA=PA,不難得出AP=BN,然后用x表示出AM的長,即可求出x的值.
解:(1)∵PM∥AB,AB∥PN,
∴PM與PN共直線,
∴MN∥AB,
∴AM=NB,
∴3﹣t=t,
得
(2)如圖,延長NP交AD于點Q,則PQ⊥AD,
由題意知,DM=BN=t,AM=CN=3﹣t,
∵PN∥AB,
∴△PNC∽△ABC,
∴即
解得:
∵PQ⊥AD,
∴∠QAB=∠B=∠NQA=90°,
∴四邊形ABNQ是矩形,
則AB=QN=4,
∴
∴四邊形CDMP的面積
(3)∵S矩形ABCD=3×4=12,
∴
解得:
所以時四邊形CDMP的面積與四邊形ABCD的面積比為3:8;
(4)△MPA能成為等腰三角形,共有三種情況,以下分類說明:
①若PM=PA,
∵PQ⊥MA,
∴四邊形ABNQ是矩形,
∴QA=NB=t,
∴MQ=QA=t,
又∵DM+MQ+QA=AD
∴3t=3,即t=1
②若MP=MA,則MQ=3﹣2t, MP=MA=3﹣t,
在Rt△PMQ中,由勾股定理得:MP2=MQ2+PQ2
∴
解得:t=(t=0不合題意,舍去)
③若AP=AM,
由題意可得:AP=t,AM=3﹣t
∴
解得:t=,
綜上所述,當t=1或t=或t=時,△MPA是等腰三角形.
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【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為4cm,∠A=60°,弧BD是以點A為圓心,AB長為半徑的弧,弧CD是以點B為圓心,BC長為半徑的弧,則陰影部分的面積為( 。
A. 2cm2B. 4cm2C. 4cm2D. πcm2
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【題目】某校在一次大課間活動中,采用了四鐘活動形式:A、跑步,B、跳繩,C、做操,D、游戲.全校學生都選擇了一種形式參與活動,小杰對同學們選用的活動形式進行了隨機抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果,繪制了不完整的統(tǒng)計圖.
請結(jié)合統(tǒng)計圖,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查學生共 人, = ,并將條形圖補充完整;
(2)如果該校有學生2000人,請你估計該校選擇“跑步”這種活動的學生約有多少人?
(3)學校讓每班在A、B、C、D四鐘活動形式中,隨機抽取兩種開展活動,請用樹狀圖或列表的方法,求每班抽取的兩種形式恰好是“跑步”和“跳繩”的概率.
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【題目】如圖,過半徑為2的⊙O外一點P,作⊙O的切線PA,切點為A,連接PO,交⊙O于點C,過點A作⊙O的弦AB,使AB∥PO,連接PB、BC.
(1)當點C是PO的中點時,
①求證:四邊形PABC是平行四邊形;
②求△PAB的面積.
(2)當AB=2時,請直接寫出PC的長度.
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【題目】共享單車為人們的生活帶來了極大的便利.如圖,一輛單車放在水平的地面上,車把頭下方A處與坐墊下方B處在平行于地面的水平線上,A,B之間的距離為49cm,現(xiàn)測得AC,BC與AB的夾角分別為45°,68°.若點C到地面的距離CD為28cm,坐墊中軸E處與點B的距離BE為5cm,求點E到地面的距離.(結(jié)果保留一位小數(shù),參考數(shù)據(jù):sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.50.)
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【題目】如圖1所示的是午休時老師們所用的一種折疊椅,現(xiàn)將躺椅以如圖2所示的方式傾斜放置,AM與地面ME成45°角,AB∥ME,椅背BC與水平線成30°角,其中AM=50厘米,BC=72厘米,BP是躺椅的伸縮支架,且30°≤BPM≤90°.(結(jié)果精確到1厘米;參考數(shù)據(jù)≈1.4,≈ 1.7,≈ 2.2)
(1)求此時點C與地面的距離.
(2)在(1)的條件下,求伸縮支架BP可達到的最大值.
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【題目】如圖,以矩形ABOD的兩邊OD、OB為坐標軸建立直角坐標系,若E是AD的中點,將△ABE沿BE折疊后得到△GBE,延長BG交OD于F點.若OF=I,FD=2,則G點的坐標為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),對稱軸為直線x=1,與y軸的交點B在(0,2)和(0,3)之間(包括這兩點),下列結(jié)論:
①當x>3時,y<0;②3a+b<0;③﹣1≤a≤﹣;④4ac﹣b2>8a;
其中正確的結(jié)論是( )
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④
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【題目】已知,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=8,點A在半徑為5的⊙O上,點O在直線l上.
(1)如圖①,若⊙O經(jīng)過點C,交BC于點D,求CD的長.
(2)在(1)的條件下,若BC邊交l于點E,OE=2,求BE的長.
(3)如圖②,若直線l還經(jīng)過點C,BC是⊙O 的切線,F為切點,則CF的長為____.
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