【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B-3,0)和點(diǎn)C1,0),頂點(diǎn)為點(diǎn)M

1)求拋物線的解析式;

2)如圖,點(diǎn)Ex軸上一動(dòng)點(diǎn),若AME的周長(zhǎng)最小,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);

3)點(diǎn)F為直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若BFP為等腰直角三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1 ;(2E-,0);(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-5)或(1,0).

【解析】

1)設(shè)拋物線的解析式為:y=ax+3)(x-1),然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式;

2)作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′0-3),連接MA′x軸于E,此時(shí)AME的周長(zhǎng)最小,求出直線MA'解析式即可求得E的坐標(biāo);

3)如圖2,先求直線AB的解析式為:y=x+3,根據(jù)解析式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,m+3),

分三種情況進(jìn)行討論:

①當(dāng)∠PBF=90°時(shí),由F1Px軸,得Pm-m-3),把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得結(jié)論;

②當(dāng)∠BF3P=90°時(shí),如圖3,點(diǎn)PC重合,

③當(dāng)∠BPF4=90°時(shí),如圖3,點(diǎn)PC重合,

從而得結(jié)論.

1)當(dāng)x=0時(shí),y=3,即A0,3),

設(shè)拋物線的解析式為:y=ax+3)(x-1),

A0,3)代入得:3=-3a,

a=-1

y=-x+3)(x-1=-x2-2x+3,

即拋物線的解析式為:y=-x2-2x+3;

2y=-x2-2x+3=-x+12+4

M-1,4),

如圖1,作點(diǎn)A0,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'0-3),連接A'Mx軸于點(diǎn)E,則點(diǎn)E就是使得AME的周長(zhǎng)最小的點(diǎn),

設(shè)直線A′M的解析式為:y=kx+b,

A'0,-3)和M-14)代入得:

,

解得:

∴直線A'M的解析式為:y=-7x-3,

當(dāng)y=0時(shí),-7x-3=0,

x=-,

∴點(diǎn)E-,0),

3)如圖2,易得直線AB的解析式為:y=x+3

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,m+3),

①當(dāng)∠PBF=90°時(shí),過(guò)點(diǎn)BBPAB,交拋物線于點(diǎn)P,此時(shí)以BP為直角邊的等腰直角三角形有兩個(gè),即BPF1BPF2,

OA=OB=3

∴△AOBA'OB是等腰直角三角形,

∴∠F1BC=BF1P=45°

F1Px軸,

Pm,-m-3),

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y=-x2-2x+3中得:

-m-3=-m2-2m+3,

解得:m1=2,m2=-3(舍),

P2,-5);

②當(dāng)∠BF3P=90°時(shí),如圖3,

∵∠F3BP=45°,且∠F3BO=45°,

∴點(diǎn)PC重合,

P1,0),

③當(dāng)∠BPF4=90°時(shí),如圖3,

∵∠F4BP=45°,且∠F4BO=45°,

∴點(diǎn)PC重合,

P1,0),

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-5)或(1,0).

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1)若參加聚會(huì)的人數(shù)為3,則共握手   次;若參加聚會(huì)的人數(shù)為5,則共握手   次;

2)若參加聚會(huì)的人數(shù)為nn為正整數(shù)),則共握手   次;

3)若參加聚會(huì)的人共握手28次,請(qǐng)求出參加聚會(huì)的人數(shù).

4)嘉嘉由握手問(wèn)題想到了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題:若線段AB上共有m個(gè)點(diǎn)(不含端點(diǎn)A,B),線段總數(shù)為多少呢?請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

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類別

家庭藏書m

學(xué)生人數(shù)

A

0≤m≤25

20

B

26≤m≤100

a

C

101≤m≤200

50

D

m≥201

66

根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:

(1)該調(diào)查的樣本容量為_____,a_____;

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“A”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為_____°;

(3)若該校有2000名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)全校學(xué)生中家庭藏書200本以上的人數(shù).

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(2)已知CD=4,CA=6,

①求CB的長(zhǎng);

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(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使為等腰三角形,若存在,請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

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