Question

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD，延長(zhǎng)CE、BA交于點(diǎn)F，連接AC、DF．
（1）如圖1，求證：四邊形ACDF是平行四邊形；
（2）如圖2，連接BE，若AE=5，tan∠AEB=$\frac{1}{2}$，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，由平行線的性質(zhì)得出∠DEC=∠BCF，再由角平分線得出∠DEC=∠FCD，得出DE=DC，證出AE=DE，由已知條件得出EF=EC，即AD與FC互相平分，即可得出結(jié)論；
（2）由平行線的性質(zhì)和已知條件得出AB=CD=5，由平行四邊形的性質(zhì)得出BF=BC．證出BF⊥CE，由三角函數(shù)得出$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$，設(shè)CE=x，則BE=2x，由勾股定理得出方程，解方程求出CE=EF=2$\sqrt{5}$，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠DEC=∠BCF，
又∵CE平分∠BCD，
∴∠BCF=∠FCD，
∴∠DEC=∠FCD，
∴DE=DC，
∵AD=2AB，
∴AD=2CD=2DE，
∴AE=DE，
∵AB∥CD，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{AE}{DE}=1$，
∴EF=EC，
∴AD與FC互相平分，
∴四邊形ACDF是平行四邊形；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE
∵tan∠AEB=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠CBE=$\frac{1}{2}$，
∵AE=5，且AE=DE，
∴AD=5+5=10，
∴AD=2AB=10，
∴AB=CD=5，
∵四邊形ACDF是平行四邊形，
∴AF=CD=5，
∴BF=AB+AF=10
∴BF=BC．
又∵EF=CE，
∴BF⊥CE，
  在Rt△CEB中，tan∠CBE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$，
設(shè)CE=x，則BE=2x 
在Rt△CBE中，BC²=CE²+BE²，
即：10²=x²+（2x）²
解得：x=2$\sqrt{5}$，
∴CE=EF=2$\sqrt{5}$，
∴CF=4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)；本題有一定難度，運(yùn)用勾股定理得出方程是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．