Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經過點A（5，0）、B（6，-6）和原點．
（1）求拋物線的函數(shù)關系式；
（2）過點C（1，4）作平行于x軸的直線交y軸于點D，在拋物線對稱軸右側位于直線DC下方的拋物線上，任取一點P，過點P作直線PF平行于y軸交x軸于點F，交直線DC于點E．直線PF與直線DC及兩坐標軸圍成矩形OFED（如圖），是否存在點P，使得△OCD與△CPE相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得：．
解得．
故拋物線的函數(shù)關系式為y=-x²+5x；

（2）存在P，使得△OCD∽△CPE．
設P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°
故CE=m-2，EP=6-n
若要△OCD∽△CPE，則要 或
即或
解得m=20-3n或n=12-3m
又因為（m，n）在拋物線上，
或．
解得，即 ，
或，即 ，
故P點坐標為（，）和（6，-6）．
分析：（1）把A，B，C三點代入二次函數(shù)解析式即可求得二次函數(shù)解析式．
（2）兩三角形相似，已有兩個直角相等，那么夾直角的兩邊對應成比例；注意對應邊的不同可分兩種情況進行分析．
點評：本題是一道涉及函數(shù)、相似、三角等知識的綜合題，解決第3題的關鍵在于通過觀察得出對結果的合理猜想在進行證明，難度應該不會很大．