精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的頂點(diǎn)P在x軸上,與y軸交于點(diǎn)Q,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,作OA⊥PQ,垂足為A,且OA=
2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求拋物線的解析式.
分析:(1)由于拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則根的判別式△=0,聯(lián)立b+ac=3,即可得到關(guān)于b的方程,從而求出b的值;
(2)可用含a、c的式子表示出P、Q的坐標(biāo),由勾股定理即可求出PQ的值,進(jìn)而可根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法求出a、c的值,從而得到拋物線的解析式.
解答:解:(1)∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸上,即拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),
∴△=b2-4ac=0,即b2=4ac;
已知b+ac=3,即ac=3-b,
可得:b2=4(3-b),
解得b=2,b=-6(舍去);
故b的值為2;

(2)由(1)知:拋物線的解析式為y=ax2+2x+c,
則有:P(-
1
a
,0),Q(0,c);
∴OP=-
1
a
,OQ=-c;
在Rt△OPQ中,由勾股定理得:QP=
OP2+OQ2
=
a2c2+1
a2
;
∵S△OPQ=OP•OQ=PQ•OA,則有:
a2c2+1
a2
×
2
=(-
1
a
)×(-c),化簡(jiǎn)得:
2a2c2+2
a2
=
c2
a2
;
由于ac=3-b=1,即a=
1
c
,
得:2+2=c2,
解得c=-2(正值舍去);
∴a=
1
c
=-
1
2
;
故拋物線的解析式為:y=-
1
2
x2+2x-2.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根的判別式、勾股定理、直角三角形面積的不同表示方法等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)精英家教網(wǎng)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
(3)在拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的面積等于△ABC的面積,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(4)點(diǎn)Q是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若△QOB為等腰三角形,請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).(可直接寫出結(jié)果)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,0)精英家教網(wǎng)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸x=1上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•衡陽(yáng))如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)A(1,0),B(0,3)兩點(diǎn),對(duì)稱軸是x=-1.
(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為何值時(shí),四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=1,且拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,0)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),若△PAB∽△OBC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是(-1,-4),且與x軸交于A、B(1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C;
(1)求此拋物線的解析式;
(2)①當(dāng)x的取值范圍滿足條件
-2<x<0
-2<x<0
時(shí),y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是拋物線上兩點(diǎn),且y1>y2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)直線x=t平行于y軸,分別交線段AC于點(diǎn)M、交拋物線于點(diǎn)N,求線段MN的長(zhǎng)度的最大值;
(4)若以拋物線上的點(diǎn)P為圓心作圓與x軸相切時(shí),正好也與y軸相切,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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