【題目】如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,已知B(-1,0),拋物線的對稱軸是直線.
(1)直接寫出拋物線的解析式;
(2)點E是線段AC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置時,線段EF的長度最長?
(3)在拋物線是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)當E(2,2), AC的中點時,線段EF的長度最長;(3)存在,(2,6)或(﹣2,﹣6)
【解析】
(1)把B點坐標和對稱軸代入解析式即可求解;
(2)先求出A,C的坐標,進而求出直線AC的解析式,E(n,-n+4),則F(n,-n2+3n+4),再表示出EF關(guān)于n的二次函數(shù)故可求解;
(3)分當以C為直角頂點時和點A為直角頂點時,根據(jù)等腰直角三角形的特點分別列方程求解.
解:(1)∵B(-1,0),拋物線的對稱軸是直線.
∴
解得
∴y=﹣x2+3x+4;
(2)令x=0,得y=4
∴C(0,4)
令y=﹣x2+3x+4=0
解得x1=4,x2=-1
∴A(4,0),
設(shè)直線AC的解析式為y=px+q
把A(4,0),C(0,4)代入得
解得
∴直線AC的解析式為:y=-x+4
設(shè)E(n,-n+4),則F(n,-n2+3n+4)
∴EF=-n2+3n+4- (-m+4)= -n2+4n= -(n-2)2+4
∴當n=2時,線段EF的長度最長,
此時E(2,2),即為AC的中點的位置;
(3)存在.
第一種情況,當以C為直角頂點時,過點C作CP1⊥AC,交拋物線于點P1.過點P1作y軸的垂線,垂足是M.
∵∠ACP1=90°,
∴∠MCP1+∠ACO=90°.
∵∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠MCP1=∠OAC.
∵OA=OC,
∴∠MCP1=∠OAC=45°,
∴∠MCP1=∠MP1C,
∴MC=MP1,
設(shè)P(m,﹣m2+3m+4),
則m=﹣m2+3m+4﹣4,
解得:m1=0(舍去),m2=2.
∴﹣m2+3m+4=6,
即P(2,6).
第二種情況,當點A為直角頂點時,過A作AP2,AC交拋物線于點P2,過點P2作y軸的垂線,垂足是N,AP交y軸于點F.
∴P2N∥x軸,
由∠CAO=45°,
∴∠OAP=45°,
∴∠FP2N=45°,AO=OF.
∴P2N=NF,
設(shè)P2(n,﹣n2+3n+4),
則 -n+4=-(-n2+3n+4),
解得:n1=﹣2,n2=4(舍去),
∴﹣n2+3n+4=﹣6,
則P2的坐標是(﹣2,﹣6).
綜上所述,P的坐標是(2,6)或(﹣2,﹣6).
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【題目】某商場將進價為元的臺燈以元售出,平均每月能售出個,調(diào)查表明:這種臺燈的售價每上漲元,其銷售量就減少個.
為了實現(xiàn)平均每月元的銷售利潤,這種臺燈的售價應(yīng)定為多少?這時應(yīng)進臺燈個?
如果商場要想每月的銷售利潤最多,這種臺燈的售價又將定為多少?這時應(yīng)進臺燈多個?
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【題目】墊球是排球隊常規(guī)訓(xùn)練的重要項目之一.下列圖表中的數(shù)據(jù)是甲、乙、丙三人每人十次墊球測試的成績.測試規(guī)則為連續(xù)接球10個,每墊球到位1個記1分.
運動員甲測試成績表
測試序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
成績(分) | 7 | 6 | 8 | 7 | 7 | 5 | 8 | 7 | 8 | 7 |
(1)寫出運動員甲測試成績的眾數(shù)為_____;運動員乙測試成績的中位數(shù)為_____;運動員丙測試成績的平均數(shù)為_____;
(2)經(jīng)計算三人成績的方差分別為S甲2=0.8、S乙2=0.4、S丙2=0.8,請綜合分析,在他們?nèi)酥羞x擇一位墊球成績優(yōu)秀且較為穩(wěn)定的接球能手作為自由人,你認為選誰更合適?為什么?
(3)甲、乙、丙三人相互之間進行墊球練習(xí),每個人的球都等可能的傳給其他兩人,球最先從甲手中傳出,第三輪結(jié)束時球回到甲手中的概率是多少?(用樹狀圖或列表法解答)
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【題目】鄭州市采暖季出現(xiàn) PM2.5 污染,小明媽媽收集了一個月(30 天)的 PM2.5 污染指數(shù),記錄如下:(單位:μg/m3)說明:0-50 優(yōu),51-100 良,101-150 輕度污染,151-200 中度污染,201-250 重度污染,251 以上嚴重污染.117,171,170, 208,192,120,243,256,56,115,166,155,156,187,114,49,55, 95,148,160,15,31,62,174,183,162,131,112,96,71對這 30 個數(shù)據(jù)按組距 50 進行分組,并統(tǒng)計整理,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表:
(1)填空:a= ,b= ;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這 30 天 PM2.5 污染指數(shù)的中位數(shù)落在 組;
(4)若一個采暖季為 120 天,請估計空氣污染指數(shù)不低于 100 的天數(shù)(結(jié)果取整數(shù))
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【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點,頂點C的縱坐標為﹣2,現(xiàn)將拋物線向右平移2個單位,得到拋物線y=a1x2+b1x+c1,則下列結(jié)論正確的是 .(寫出所有正確結(jié)論的序號)
①b>0
②a﹣b+c<0
③陰影部分的面積為4
④若c=﹣1,則b2=4a.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,函數(shù)y=x和y=﹣x的圖象分別為直線l1,l2,過l1上的點A1(1,)作x軸的垂線交l2于點A2,過點A2作y軸的垂線交l1于點A3,過點A3作x軸的垂線交l2于點A4,…依次進行下去,則點A2019的橫坐標為_____.
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【題目】某公司利用假期組織部分員工分別到A、B、C、D四地旅游,公司按定額購買了前往各地的車票.下圖是車票種類和數(shù)量的條形統(tǒng)計圖,根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題:
(1)若公司采用隨機抽取的方式分發(fā)車票,每人抽取一張(所有車票的形狀、大小、質(zhì)地完全相同且充分洗勻),則員工小張抽到去D地的概率是_____;
(2)若有一張車票,小王、小李都想要,決定采取拋擲一枚各面分別標有1,2,3,4的正四面體骰子的方法來確定,具體規(guī)則是:“每人各拋擲一次,若小王擲得著地一面的數(shù)字比小李擲得著地一面的數(shù)字小,車票給小王,否則給小李”.試用“列表法或畫樹狀圖”的方法分析,這個規(guī)則對雙方是否公平?
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【題目】已知二次函數(shù)的解析式是y=x2﹣2x﹣3.
(1)與y軸的交點坐標是 ,頂點坐標是 .
(2)在坐標系中利用描點法畫出此拋物線;
x | … | … | |||||
y | … | … |
(3)結(jié)合圖象回答:當﹣2<x<2時,函數(shù)值y的取值范圍是 .
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【題目】甲車從地出發(fā)勻速駛向地,到達地后,立即按原路原速返回地;乙車從地出發(fā)沿相同路線勻速駛向地,出發(fā)小時后,乙車因故障在途中停車小時,然后繼續(xù)按原速駛向地,乙車在行駛過程中的速度是千米/時,甲車比乙車早小時到達地,兩車距各自出發(fā)地的路程千米與甲車行駛時間小時之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,請結(jié)合圖象信息解答下列問題:
(1)寫出甲車行駛的速度,并直接寫出圖中括號內(nèi)正確的數(shù)__ __
(2)求甲車從地返回地的過程中,與的函數(shù)關(guān)系式(不需要寫出自變量的取值范圍).
(3)直接寫出甲車出發(fā)多少小時,兩車恰好相距千米.
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