Question

2．如圖1，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AE⊥BC于點E，連結(jié)OE．
（1）若OE=2，OB=4，求AE的長；
（2）如圖2，若∠ABC=45°，∠AEB的角平分線EF交BD于點F，求證：BF=$\sqrt{2}$OE；
（3）如圖3，若∠ABC=45°，AE與BD交于點H，連接CH并延長交AB于點G，連EG，直接寫出$\frac{BH}{EG}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出AC，理由勾股定理求出BC，根據(jù)$\frac{1}{2}$×BD×AC=BC×AE，即可解決問題．
（2）如圖2中，連接AF，只要證明BF=AF，△AOF是等腰直角三角形即可解決問題．
（3）先證明△BHG≌△CAG，推出BH=AC，再證明GE∥AC，得到$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BG}{AB}$=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴AC=2OE=4，OA=OC=2，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$×BD×AC=BC×AE，
∴$\frac{1}{2}$×8×4=2$\sqrt{5}$×AE，
∴AE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

（2）如圖2中，連接AF．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BF平分∠ABC，∵∠ABC=45°
∴∠ABF=22.5°，
∵EF平分∠AEB，
∴AF平分∠BAE，
∴∠BAF=22.5°，
∴∠FBA=∠FAB，
∴BF=AF，∠AFO=∠FBA+∠FAB=45°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$OA，
∵OA=OE，
∴BF=$\sqrt{2}$OE．

（3）結(jié)論：$\frac{BH}{EG}$=$\sqrt{2}$．
理由：如圖3中，∵BO⊥AC，AE⊥BC，
∴CG⊥AB，∵∠ABC=45°，
∴∠CBG=∠BCG=45°，
∴BG=CG，
∵∠HBG+∠BHG=90°，∠ACG+∠CHO=90°，
∵∠BHG=∠CHO，
∴∠HBG=∠ACG，
在△BHG和△CAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGH=∠CGA}\\{∠HBG=∠ACG}\\{BG=CG}\end{array}\right.$，
∴△BHG≌△CAG，
∴BH=AC，
∵$\frac{1}{2}$×AB×CG=$\frac{1}{2}$×BC×AE，AB=CB，
∴AE=CG，
∵BE=AE，BG=CG，
∴BG=BE，
∴$\frac{BG}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$，
∴EG∥AC，
∴$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BG}{BA}$=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{BH}{EG}$=$\frac{AC}{EG}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形的角平分線的性質(zhì)，三角形的高的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會利用面積求有關(guān)線段，屬于中考壓軸題．