Question

7．如圖，二次函數(shù)y=-x²+$\frac{5}{3}$x+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P從點O出發(fā)沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A運動，到達點A后立刻在以原來的速度沿AO返回；點Q從點A出發(fā)沿AC以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，過點Q作QD⊥x軸，垂足為D．點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達點C時停止運動，點P也隨之停止．設(shè)點P，Q的運動時間為t（t≥0）．

（1）當(dāng)點P從點O向點A運動的過程中，求△QPA面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)線段PQ與拋物線的對稱軸沒有公共點時，請直接寫出t的取值范圍；
（3）當(dāng)t為何值時，以P、D、Q為頂點的三角形與△OBC相似；
（4）如圖2：FE保持垂直平分PQ，且交PQ于點F，交折線QC-CO-OP于點E，在整個運動過程中，請你直接寫出點E所經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)已知得：點P從點O向點A運動的時間為0≤t≤3，作△QPA的高QE，分別表示出AP和QE的長，利用面積公式代入計算即可；
（2）作出對稱軸，當(dāng)線段PQ與拋物線的對稱軸沒有公共點時，P應(yīng)該在對稱軸的右側(cè)，所以要先計算對稱軸，即t＞$\frac{5}{6}$，點Q也應(yīng)該在對稱軸的右側(cè)，所以要計算AF的長，滿足AQ＜AF，從而得出結(jié)論；
（3）分四種情況討論：①當(dāng)△BOC∽△QDP時，如圖3，根據(jù)對應(yīng)邊成比例列方程解出即可；②如圖4，當(dāng)△BOC∽△PDQ時；③如圖5，當(dāng)△BOC∽△PDQ時；④如圖6，當(dāng)△BOC∽△PDQ時；同理依次算出t的值，注意在四種情況下，PD的值不同，要分別根據(jù)圖形計算；
（4）點E所經(jīng)過的路徑從t=0時開始：點E開始在AC的中點處，當(dāng)0≤t≤3時，E～C～O～E，當(dāng)3＜t≤5時，點P從點A向左運動，點E的運動路徑是：圖8的點E～O～圖9中的點E，分別計算各條線段的長，并相加即可．

解答 解：（1）如圖1，y=-x²+$\frac{5}{3}$x+4，
y=0時，-x²+$\frac{5}{3}$x+4=0，
解得：x₁=3，x₂=-$\frac{4}{3}$，
∴A（3，0），B（-$\frac{4}{3}$，0），
x=0時，y=4，則OC=4，AC=5，
∵OA=3，
∴0≤t≤3，
由題意得：OP=t，AQ=t，
過Q作QE⊥x軸于E
∴QE∥y軸，
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{QE}{OC}$，
∴$\frac{t}{5}=\frac{QE}{4}$，
∴QE=$\frac{4t}{5}$，
∴S=S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QE=$\frac{1}{2}$×（3-t）•$\frac{4t}{5}$=-$\frac{2{t}^{2}}{5}$+$\frac{6t}{5}$；
（2）對稱軸：x=-$\frac{\frac{5}{3}}{2×（-1）}$=$\frac{5}{6}$，
∴t＞$\frac{5}{6}$，
∵FG∥y軸，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AG}{AO}$，
∴$\frac{AF}{5}=\frac{3-\frac{5}{6}}{3}$，
∴AF=$\frac{65}{18}$，
∴t＜$\frac{65}{18}$，
∴當(dāng)$\frac{5}{6}$＜t＜$\frac{65}{18}$時，線段PQ與拋物線的對稱軸沒有公共點；
（3）OP=t，AP=3-t，AQ=t，DQ=$\frac{4t}{5}$
①當(dāng)△BOC∽△QDP時，如圖3，
∵QD∥y軸，
∴$\frac{AQ}{AC}=\frac{AD}{OA}$，
∴$\frac{t}{5}=\frac{AD}{3}$，
∴AD=$\frac{3t}{5}$，
∴PD=3-t-$\frac{3t}{5}$=-$\frac{8t}{5}$+3，
∵$\frac{OB}{QD}=\frac{OC}{DP}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4t}{5}}$=$\frac{4}{-\frac{8t}{5}+3}$，
∴t=$\frac{3}{4}$；
②如圖4，當(dāng)△BOC∽△PDQ時，
∴$\frac{OB}{PD}=\frac{OC}{DQ}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{8t}{5}+3}$=$\frac{4}{\frac{4t}{5}}$，
∴t=$\frac{45}{28}$；
③如圖5，當(dāng)△BOC∽△PDQ時，PD=OP+AD-OA=t+$\frac{3t}{5}$-3=$\frac{8t}{5}$-3，
∴$\frac{OB}{PD}=\frac{OC}{DQ}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8t}{5}-3}$=$\frac{4}{\frac{4t}{5}}$，
∴t=$\frac{9}{4}$；
④如圖6，當(dāng)△BOC∽△PDQ時，PD=AD-AP=$\frac{3t}{5}$-（t-3）=-$\frac{2t}{5}$+3，
∵QD∥y軸，
∴$\frac{OB}{PD}=\frac{OC}{DQ}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{2t}{5}+3}$=$\frac{4}{\frac{4t}{5}}$，
∴t=$\frac{9}{2}$；
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{3}{4}$或$\frac{45}{28}$或$\frac{9}{4}$或$\frac{9}{2}$時，以P、D、Q為頂點的三角形與△OBC相似；
（4）當(dāng)t=0時，如圖7，P在O點，Q在A點，
∵EF是OA的垂直平分線，
∴E是AC的中點，
∴EC=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)t=3時，P在A點，Q在AC上，則AQ=3，AF=$\frac{3}{2}$，
cos∠A=$\frac{AF}{AE}=\frac{OA}{AC}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{AE}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$，
∴OE=3-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)t=5時，Q在C點，P在OA上，連接EP，則CE=EP，
設(shè)EP=x，則OE=4-x，
則x²=（4-x）²+1²，
解得：x=$\frac{17}{8}$，
∴OE=4-$\frac{17}{8}$=$\frac{15}{8}$；
∴點E所經(jīng)過的路徑長=$\frac{5}{2}$+4+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{15}{8}$=$\frac{75}{8}$；
則點E所經(jīng)過的路徑長為$\frac{75}{8}$．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，綜合性較強，是運動型問題；此類題的關(guān)鍵是要弄清動點的運動路徑，一般從動點運動過程中的某些特殊位置入手，從開始到停止，認(rèn)真觀察各時間所形成的圖形；對于兩直角三角形相似，如果不確定對應(yīng)邊時，要分情況進行討論．