【題目】如圖,在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,ADBC于點D.

(1)如圖1,點E,F(xiàn)AB,AC上,且∠EDF=90°.求證:BE=AF;

(2)M,N分別在直線AD,AC上,且∠BMN=90°.

①如圖2,當點MAD的延長線上時,求證:AB+AN=AM;

②當點M在點A,D之間,且∠AMN=30°時,已知AB=2,直接寫出線段AM的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)①證明見解析;②AM=

【解析】1)先判斷出∠BAD=CAD=45°,進而得出∠CAD=B,再判斷出∠BDE=ADF,進而判斷出BDE≌△ADF,即可得出結(jié)論;

(2)①先判斷出AM=PM,進而判斷出∠BMP=AMN,判斷出AMN≌△PMB,即可判斷出AP=AB+AN,再判斷出AP=AM,即可得出結(jié)論;

②先求出BD,再求出∠BMD=60°,最后用三角函數(shù)求出DM,即可得出結(jié)論.

1)∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠B=C=45°.

ADBC,

BD=CD,BAD=CAD=45°,

∴∠CAD=B,AD=BD.

∵∠EDF=ADC=90°,

∴∠BDE=ADF,

BDE≌△ADF(ASA),

DE=DF;

(2)①如圖1,過點MMPAM,交AB的延長線于點P,

∴∠AMP=90°.

∵∠PAM=45°,

∴∠P=PAM=45°,

AM=PM.

∵∠BMN=AMP=90°,

∴∠BMP=AMN.

∵∠DAC=P=45°,

AMN≌△PMB(ASA),

AN=PB,

AP=AB+BP=AB+AN.

RtAMP中,∠AMP=90°,AM=MP,

AP=AM,

AB+AN=AM;

②在RtABD中,AD=BD=AB=

∵∠BMN=90°,AMN=30°,

∴∠BMD=90°﹣30°=60°.

RtBDM中,DM==,

AM=AD﹣DM=

練習冊系列答案
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(1)觀察規(guī)形圖,試探究∠BDC與∠A、B、C之間的關(guān)系,并說明理由;

(2)請你直接利用以上結(jié)論,解決以下三個問題:

①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在ABC上,使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C,若∠A=50°,則∠ABX+ACX=__________°;

②如圖3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,DBE=130°,求∠DCE的度數(shù);

③如圖4,ABD,ACD10等分線相交于點G1、G2…、G9,若∠BDC=140°,BG1C=77°,求∠A的度數(shù).

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