【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于B、C兩點(點B在點C的左側),與y軸交于點A,拋物線的頂點為D,B(﹣3,0),A(0,)
(1)求拋物線解析式及D點坐標;
(2)如圖1,P為線段OB上(不與O、B重舍)一動點,過點P作y軸的平行線交線段AB于點M,交拋物線于點N,點N作NK⊥BA交BA于點K,當△MNK與△MPB的面積相等時,在X軸上找一動點Q,使得CQ+QN最小時,求點Q的坐標及CQ+QN最小值;
(3)如圖2,在(2)的條件下,將△ODN沿射線DN平移,平移后的對應三角形為△O′D′N′,將△AOC繞點O逆時針旋轉到A1OC1的位置,且點C1恰好落在AC上,△A1D′N′是否能為等腰三角形,若能求出N′的坐標,若不能,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+;頂點D的坐標為(﹣1,);(2)Q(﹣1,0),最小值為3;(3)N′的坐標為(﹣,)或(﹣,).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法以及頂點坐標公式即可解決問題.
(2)如圖1中,設P(m,0)則N(m,﹣m2﹣m+).由△NMK∽△BMN,又△MNK與△MPB的面積相等,推出△NMK≌△BMN,推出MN=BM,在Rt△ABO中,tan∠ABO==,推出∠ABO=30°,推出BM=2PM=MN,可得﹣m2﹣m+﹣m+=2(m+),解得m=﹣2或﹣3(舍棄),推出N(﹣2,),
在y軸上取一點F,使得∠OCF=30°,作QH⊥CF于H,因為QH=CQ,所以NQ+CQ=NQ+QH,根據(jù)垂線段最短可知,當N、Q、H共線,且NH⊥CF時,NQ+CQ=NQ+QH的值最小.由此即可解決問題.
(3)首先求出點A′的坐標,再證明A′N⊥DN,分三種情形討論即可.①如圖3中,當A′D′=A′N′時.②如圖4中,當N′D′=N′A′時.③如圖5中,延長C′A′交DG于N′,此時△D′N′A′是等腰三角形.
解:(1)把B(﹣3,0),A(0,)的坐標代入y=﹣x2+bx+c,得到,
解得,
∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2﹣x+,
頂點D的坐標為(﹣1,).
(2)如圖1中,設P(m,0)則N(m,).
∵A(0,),B(﹣3,0),
∴直線AB的解析式為y=x+,AB用PN的交點M(m,m+),
∵∠NMK=∠BMP,∠NKM=∠MPB=90°,
∴△NMK∽△BMN,
∵△MNK與△MPB的面積相等,
∴△NMK≌△BMN,
∴MN=BM,
在Rt△ABO中,tan∠ABO==,
∴∠ABO=30°,
∴BM=2PM=MN,
∴﹣m2﹣m+﹣m+=2(m+),
解得m=﹣2或﹣3(舍棄),
∴N(﹣2,),
在y軸上取一點F,使得∠OCF=30°,作QH⊥CF于H,
∵QH=CQ,
∴NQ+CQ=NQ+QH,
根據(jù)垂線段最短可知,當N、Q、H共線,且NH⊥CF時,NQ+CQ=NQ+QH的值最。
∵直線CF的解析式為y=x﹣,直線NH的解析式為y=﹣x﹣,
∴Q(﹣1,0),
由,解得,
∴H(﹣,﹣),
∴NH==3,
∴NQ+CQ=NQ+QH的最小值為3.
(3)如圖2中,
在Rt△AOC中,∵OA=,OC=1,AC=2,
∴tan∠ACO=,
∴∠ACO=60°,
∵OC′=OC,
∴△COC′是等邊三角形,
∴∠A′C′C=∠C′OC=60°,
∴A′C′∥OC,
∴A′(﹣,),
∵N(﹣2,),D(﹣1,),
∴直線DN的解析式為y=x+,直線A′N的解析式y=﹣x﹣,
∵×(﹣)=﹣1,
∴AN⊥DN,設直線DN交x軸于G,則G(﹣5,0),對稱軸與x軸的交點為E(﹣1,0),
在Rt△DGE中,tan∠DGE=,
∴∠DGE=30°.
①如圖3中,當A′D′=A′N′時,易知ND′=NN′,A′N=1,ND′=NN′=,易證△A′N′D′是等邊三角形,可得N′(﹣,).
②如圖4中,當N′D′=N′A′時,∵A′N=1,DN=,
在Rt△A′N′N中,A′N′=N′D′=,A′N=1,NN′=,易證△A′N′D′是等邊三角形,
∴N′(﹣,).
③如圖5中,延長C′A′交DG于N′,此時△D′N′A′是等腰三角形.
理由:作D′K⊥C′N′于K,易知N′(﹣,),
∴A′N′=2,
在Rt△D′N′K中,∵∠D′N′K=30°,D′N′=,
∴D′K=,KN′=1,
∴KA′=A′N′﹣N′K=2﹣1=1,
在Rt△A′D′K中,A′D′==,
∴D′N′=D′A′,
∴△A′D′N′是等腰三角形,
綜上所述,當點N′的坐標為(﹣,)或(﹣,)時,△A′D′N′是等腰三角形.
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【題目】在一次向貧困山區(qū)學生“愛心助學”捐款活動中,某校學生人人拿出自己的零花錢踴躍捐款,學生捐款額有5元、10元、15元、20元四種情況,根據(jù)隨機抽樣統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了圖①和圖②兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求出本次抽樣的學生人數(shù)并求捐款額為5元的學生人數(shù)占抽樣人數(shù)的百分比?
(2)請你將圖②的條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若該校九年級人數(shù)為600人,請你估計該校九年級一共捐款多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在矩形中,,以為直徑的半圓在矩形的外部,如圖1,將半圓繞點順時針旋轉α度(0°≤ɑ≤180°).
(1)在旋轉過程中,的最小值是_____________,當半圓的直徑落在對角線上時,如圖2,設半圓與的交點為,則長為__________.
(2)將半圓與直線相切時,切點為,半圓與線段的交點為,如圖3,求劣弧的長;
(3)在旋轉過程中,當半圓弧與直線只有一個交點時,設此交點與點的距離為請直接寫出的取值范圍.
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【題目】如圖已知:MN為⊙O的直徑,點E為弧MC上一點,連接EN交CH于點F,CH是⊙O的一條弦,CH⊥MN于點K.
(1)如圖1,連接OE,求證:∠EON=2∠EFC;
(2)如圖2,連接OC,OC與NE交于點G,若MP∥EN,MP=2HK,求證:FH=FE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接EH交OC與ON于點R,T,連接PH,若RT:RE=1:5,PH=2,求OR的長.
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【題目】距離中考體考時間越來越近,年級組想了解初三年級2400名學生周末在家體育鍛煉的情況,在初三年級隨機抽查了20名男生和20名女生周末每天在家鍛煉的時間情況.
(一)收集數(shù)據(jù):(單位:分)
男生:20 30 40 45 60 120 80 50 100 45 85 90 90 70 90 50 90 50 70 40
女生:75 30 120 70 60 100 90 40 75 60 75 75 80 90 70 80 50 80 100 90
(二)整理、描述數(shù)據(jù):(表一)
時間x | x≤30 | 30<x≤60 | 60<x≤90 | 90<x≤120 |
男生 | 2 | 8 | 8 | 2 |
女生 | 1 | 4 | a | 3 |
(表二)兩組數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)
極差 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | |
男生 | 100 | 65.75 | b | c |
女生 | 90 | 75.5 | 75 | 75 |
(三)分析、應用數(shù)據(jù):
(1)請將上面兩個表格補充完整:a=_____,b=______,c=______;
(2)請根據(jù)抽樣調查的數(shù)據(jù)估計初三年級周末每天鍛煉時間在100分鐘以上(含100分鐘)的同學大約有多少人?
(3)李老師看了表格數(shù)據(jù)后認為初三年級的女生周末鍛煉堅持得比男生好,請你結合統(tǒng)計數(shù)據(jù),寫出支持老師觀點的理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形中,,,菱形在直線上向右作無滑動的翻滾,每繞著一個頂點旋轉叫一次操作,則經(jīng)過45次這樣的操作菱形中心所經(jīng)過的路徑總長為______.(結果保留)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖已知在直角坐標系中,一條拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,其中B(3,0),C(0,4),點A在x軸的負半軸上,OC=4OA.
(1)求點A坐標;
(2)求這條拋物線的解析式,并求出它的頂點坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示, ,點為內部一點,作射線,點在射線上,且,點與點關于射線對稱,且直線與射線交于點.當為等腰三角形時,的長為__________.
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