Question

【題目】如圖所示， ，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，作射線，點(diǎn)在射線上，且，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于射線對(duì)稱，且直線與射線交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為__________．

Answer 1

【答案】3或1

【解析】

分兩種情況：①點(diǎn)在∠AOB內(nèi)部，②點(diǎn)在∠AOB外部，由已知條件和等腰三角形性質(zhì)，利用三角函數(shù)列方程解直角三角形即可解答.

分兩種情況：

①點(diǎn)在∠AOB內(nèi)部，如圖，

∵點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于射線對(duì)稱，為等腰三角形，

∴N=O=，MH=H，

∵，

∴，

∴,

解得MN=2

在Rt△MON中，=3，,

②點(diǎn)在∠AOB外部，如圖，過點(diǎn)N作QN⊥O，

∵△ON為等腰三角形，即N=ON，

∴Q=O，

∵OM=，點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于射線OP對(duì)稱，

∴Q=，OM=O，

∴∠OM=∠OM，

設(shè)ON=N=x，MH=H=y，

∵，，

∴，

解得x=1，y=，

綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為3或1，

故答案為：3或1.