Question

【題目】發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：

（1）如圖1，AB為⊙O的直徑，請(qǐng)?jiān)?/span>⊙O上求作一點(diǎn)P，使∠ABP＝45°．（不必寫作法）

問(wèn)題探究：

（2）如圖2，等腰直角三角形△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，D是AB上一點(diǎn)，AD＝2，在BC邊上是否存在點(diǎn)P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

問(wèn)題解決：

（3）如圖3，為矩形足球場(chǎng)的示意圖，其中寬AB＝66米、球門EF＝8米，且EB＝FA．點(diǎn)P、Q分別為BC、AD上的點(diǎn)，BP＝7米，∠BPQ＝135，一位左前鋒球員從點(diǎn)P處帶球，沿PQ方向跑動(dòng)，球員在PQ上的何處才能使射門角度（∠EMF）最大？求出此時(shí)PM的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）如圖所示，見解析；（2）存在．BP＝3+或BP＝3﹣；（3）當(dāng)球員在PQ上距離點(diǎn)P（12﹣7）米時(shí)，才能使射門角度最大，PM的長(zhǎng)度為（12﹣7）米．

【解析】

（1）如圖1所示．作直徑AB的垂直平分線，交⊙O于點(diǎn)P和點(diǎn)P'，則點(diǎn)P和點(diǎn)P'即為所求；

（2）如圖2和圖2'所示：證明△BPD∽△CAP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，設(shè)BP=x，則PC=6-x，解方程，方程的解即為BP的長(zhǎng)度；

（3）先證明一個(gè)基本事實(shí)：一條弧所對(duì)的圓周角大于圓外角；再在圖3中過(guò)點(diǎn)E、F作⊙O，使⊙O與PQ相切于點(diǎn)M，則此時(shí)∠EMF最大；延長(zhǎng)AB、QP交于點(diǎn)N，證明△NEM∽△NMF，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，計(jì)算即可解得PM的長(zhǎng)．

（1）如圖所示：作AB的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)P、P'，則點(diǎn)P或P'即為所求；

（2）存在．

如圖2和圖2'所示：

在△ABC中

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，AD＝2，

∴∠B＝∠C＝45°，BD＝，BC＝AB＝6，

∴∠BDP+∠BPD＝135°．

∵∠APD＝45°，

∴∠APC+∠BPD＝135°，

∴∠BDP＝∠APC，

∴△BPD∽△CAP

∴＝．

設(shè)BP＝x，則PC＝6﹣x，

∴＝，

解得x1＝3+，x2＝3﹣，

∴BP＝3+或BP＝3﹣；

（3）先證明以下事實(shí)：若點(diǎn)A、E、F、G均在⊙O'上，點(diǎn)G'為⊙O'外一點(diǎn)，則∠G＞∠G'

證明：如圖所示，連接AF，

∵∠G＝∠EAF，∠EAF＞∠G'，

∴∠G＞∠G'，即一條弧所對(duì)的圓周角大于圓外角．

如圖3，過(guò)點(diǎn)E、F作⊙O，使⊙O與PQ相切于點(diǎn)M，由圓周角大于圓外角可知此時(shí)∠EMF最大．

（3）如圖3，為矩形足球場(chǎng)的示意圖，其中寬AB＝66米、球門EF＝8米，且EB＝FA．點(diǎn)P、Q分別為BC、AD上的點(diǎn)，BP＝7米，∠BPQ＝135，一位左前鋒球員從點(diǎn)P處帶球，沿PQ方向跑動(dòng)，球員在PQ上的何處才能使射門角度（∠EMF）最大？求出此時(shí)PM的長(zhǎng)度．

∵AB＝66米、EF＝8米，EB＝FA，

∴EB＝29米，

延長(zhǎng)AB、QP交于點(diǎn)N，

∵∠BPQ＝135°，

∴∠BPN＝45°，

∵BN＝BP＝7，PN＝BP＝7，NE＝36，NF＝44米，

∵∠N＝∠N，∠NEM＝∠NMF＝90°，

∴△NEM∽△NMF，

∴＝，

∴NM2＝NENF，

∴NM＝12米，

∴PM＝NM﹣PN＝(12﹣7)米．

答：當(dāng)球員在PQ上距離點(diǎn)P為(12﹣7)米時(shí)，才能使射門角度最大，即PM的長(zhǎng)度為(12/span>﹣7)米．