【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x+與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對稱軸與直線AC交于點(diǎn)E.
(1)若點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上的動點(diǎn),連接PC,PE,當(dāng)△PCE的面積S△PCE最大時,點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,此時點(diǎn)T從點(diǎn)Q開始出發(fā),沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動至y軸上的點(diǎn)F處,再沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動至x軸上的點(diǎn)G處,最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動至直線AC上的點(diǎn)H處,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及QF+FG+AH的最小值.
(2)將△BOC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)120°,邊BO所在直線與直線AC交于點(diǎn)M,將拋物線沿射線CA方向平移個單位后,頂點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′,點(diǎn)R在y軸上,點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi),當(dāng)以點(diǎn)D′,R,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時,請直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)P(﹣,),Q'H=;(2)N(﹣,)或N(﹣,)或N(﹣,﹣);
【解析】
(1)易求A(﹣3,0),B(1,0),C(0,),直線AC的直線解析式為y=x+,當(dāng)△PCE的面積S△PCE最大時,當(dāng)P點(diǎn)到直線AC的距離d最大即可求出點(diǎn)P坐標(biāo),進(jìn)而可求點(diǎn)Q坐標(biāo),作點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q',作AC關(guān)于x軸的對稱AC',過點(diǎn)Q'作直線AC'的垂線交于點(diǎn)H,角y軸于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,即可求QF+FG+AH的最小值;
(2)由平移可知拋物線向下移動個單位,向左平移1個單位,易求B'O的直線解析式為y=x﹣,從而可以知道點(diǎn)M的坐標(biāo),然后分類討論:①當(dāng)D'M是菱形RD'NM的對角線時,②當(dāng)D'M∥RN時.
解:(1)在中令y=0,解得,∴A(﹣3,0),B(1,0),令x=0,解得,則C(0,),求得,
∴直線AC的直線解析式為,
過點(diǎn)P作PK∥y軸交AC于點(diǎn)K,設(shè),其中,則
∵
∵,
∴拋物線開口向下,
又∵且對稱軸為直線
∴當(dāng)時,S△PCE最大,
∴
∵點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,拋物線對稱軸x=﹣1
∴
作點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)),作AC關(guān)于x軸的對稱AC'
過點(diǎn)Q'作直線AC'的垂線交于點(diǎn)H,交y軸于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,
∴Q'F=QF,
∵∠CAO=∠OAH=30°,
∴HG=AHtan30°=AH,
∴QF+FG+AH=Q'F+FG+HG=Q'H,
過Q'作Q'M⊥x軸,交x軸于點(diǎn)M,交AH于點(diǎn)N,
∴Q'M=,
在Rt△AMN中,AM=,
∴MN=,
∴Q'N=,
在中,
∴
∴∠HQ'N=∠OAH=30°,
∴Q'H=;
(2)在Rt△OBC中,OC=,OB=1,
∴∠CBO=60°,
∵將△BOC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)120°,
∴∠O'BC=60°,
∴O'(,),
將拋物線沿射線CA方向平移個單位,
∴BB'=,BB'∥AC,
∴∠BB'K=30°,
過點(diǎn)B'⊥x軸,交x軸于點(diǎn)K,
在Rt△BB'K中,B'K=,BK=1,
∴拋物線向下移動個單位,向左平移1個單位,
∵D(﹣1,),
∴D'(﹣2,),
∴B'O的直線解析式為y=x﹣,
M點(diǎn)坐標(biāo)為方程組的解,
∴M(,),
①當(dāng)D'M是菱形RD'NM的對角線時,
D'M的中點(diǎn)為(﹣,),
設(shè)R(0,n),N(﹣,m),
∵=,,
∴m=﹣,
∴N(﹣,﹣);
②當(dāng)D'M∥RN時,
設(shè)R(0,n),N(﹣,m),
∵D'M2=()2+()2=13,
∴D'N2=()2+(﹣n)2=13,
∴m=或m=﹣,
∴N(﹣,)或N(﹣,);
∴N(﹣,)或N(﹣,)或N(﹣,﹣);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(4,0),拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D,CE∥AB,并與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E現(xiàn)有下列結(jié)論:①b2﹣4a<0;②b>0;③5a+b<0;④AD+CE=4.其中正確結(jié)論個數(shù)為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,直線交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),拋物線經(jīng)過點(diǎn),交軸于點(diǎn).點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,交直線于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上運(yùn)動時,求線段長度的最大值;
(3)若點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn),是否存在點(diǎn),使以,,,為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請直接出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,對角線、交于點(diǎn),過點(diǎn)作,交延長線于點(diǎn),交于點(diǎn),若,,,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)D是AB上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E,交CA延長線于點(diǎn)F.
(1)證明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的長,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解下列方程
(1)(x﹣2)2=1;
(2)x(x﹣6)=6;
(3)x2+4x﹣32=0;
(4)x(x+4)=﹣3(x+4).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知⊙O經(jīng)過四邊形ABCD的B、D兩點(diǎn),并與四條邊分別交于點(diǎn)E、F、G、H,且.
(1)如圖①,連接BD,若BD是⊙O的直徑,求證:∠A=∠C;
(2)如圖②,若的度數(shù)為θ,∠A=α,∠C=β,請直接寫出θ、α和β之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形花草園,其中一邊靠墻,另外三邊周長為30米的籬笆圍成.已知墻長為16米(如圖所示),設(shè)這個花草園垂直于墻的一邊長為x米.
(1)若花草園的面積為100平方米,求x;
(2)若平行于墻的一邊長不小于10米,這個花草園的面積有最大值和最小值嗎?如果有,求出最大值和最小值;如果沒有,請說明理由;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,四邊形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,AE⊥BD,EF⊥CE
(1)試證明△AEF∽△BEC;
(2)如圖,過 C 點(diǎn)作 CH⊥AD 于 H,試探究線段 DH 與 BF 的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若 AD=1,CD=5,試求出 BE 的值?
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