【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x+x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對稱軸與直線AC交于點(diǎn)E

1)若點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上的動點(diǎn),連接PC,PE,當(dāng)PCE的面積SPCE最大時,點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,此時點(diǎn)T從點(diǎn)Q開始出發(fā),沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動至y軸上的點(diǎn)F處,再沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動至x軸上的點(diǎn)G處,最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動至直線AC上的點(diǎn)H處,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及QF+FG+AH的最小值.

2)將BOC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)120°,邊BO所在直線與直線AC交于點(diǎn)M,將拋物線沿射線CA方向平移個單位后,頂點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′,點(diǎn)Ry軸上,點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi),當(dāng)以點(diǎn)D′R,MN為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時,請直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)P(﹣),Q'H=;(2)N(﹣,)或N(﹣)或N(﹣,﹣);

【解析】

(1)易求A(﹣3,0),B(1,0),C(0,),直線AC的直線解析式為y=x+,當(dāng)△PCE的面積S△PCE最大時,當(dāng)P點(diǎn)到直線AC的距離d最大即可求出點(diǎn)P坐標(biāo),進(jìn)而可求點(diǎn)Q坐標(biāo),作點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q',作AC關(guān)于x軸的對稱AC',過點(diǎn)Q'作直線AC'的垂線交于點(diǎn)H,角y軸于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,即可求QF+FG+AH的最小值;

(2)由平移可知拋物線向下移動個單位,向左平移1個單位,易求B'O的直線解析式為y=x﹣,從而可以知道點(diǎn)M的坐標(biāo),然后分類討論:①當(dāng)D'M是菱形RD'NM的對角線時,②當(dāng)D'M∥RN時.

解:(1)在中令y=0,解得,∴A(﹣3,0),B(1,0),令x=0,解得,則C(0,),求得,

∴直線AC的直線解析式為,

過點(diǎn)P作PK∥y軸交AC于點(diǎn)K,設(shè),其中,則

∴拋物線開口向下,

又∵且對稱軸為直線

∴當(dāng)時,S△PCE最大,

∵點(diǎn)P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,拋物線對稱軸x=﹣1

作點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)),作AC關(guān)于x軸的對稱AC'

過點(diǎn)Q'作直線AC'的垂線交于點(diǎn)H,交y軸于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,

∴Q'F=QF,

∵∠CAO=∠OAH=30°,

∴HG=AHtan30°=AH,

∴QF+FG+AH=Q'F+FG+HG=Q'H,

過Q'作Q'M⊥x軸,交x軸于點(diǎn)M,交AH于點(diǎn)N,

∴Q'M=,

在Rt△AMN中,AM=,

∴MN=,

∴Q'N=,

中,

∴∠HQ'N=∠OAH=30°,

∴Q'H=;

(2)在Rt△OBC中,OC=,OB=1,

∴∠CBO=60°,

∵將△BOC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)120°,

∴∠O'BC=60°,

∴O'(),

將拋物線沿射線CA方向平移個單位,

∴BB'=,BB'∥AC,

∴∠BB'K=30°,

過點(diǎn)B'⊥x軸,交x軸于點(diǎn)K,

在Rt△BB'K中,B'K=,BK=1,

∴拋物線向下移動個單位,向左平移1個單位,

∵D(﹣1,),

∴D'(﹣2,),

∴B'O的直線解析式為y=x﹣,

M點(diǎn)坐標(biāo)為方程組的解,

∴M(,),

①當(dāng)D'M是菱形RD'NM的對角線時,

D'M的中點(diǎn)為(﹣,),

設(shè)R(0,n),N(﹣,m),

,,

∴m=﹣

∴N(﹣,﹣);

②當(dāng)D'M∥RN時,

設(shè)R(0,n),N(﹣,m),

∵D'M2=(2+(2=13,

∴D'N2=(2+(﹣n)2=13,

∴m=或m=,

∴N(﹣)或N(﹣,);

∴N(﹣,)或N(﹣,)或N(﹣,﹣);

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A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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1)求拋物線的解析式;

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