Question

【題目】 如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段長(zhǎng)度的最大值；

（3）若點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度有最大值，為；（3）存在，的值為，，或．

【解析】

（1）先根據(jù)直線解析式求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可得到答案；（2）根據(jù)PD⊥x軸知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，由點(diǎn)D與點(diǎn)P所在的位置表示兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到線段PD的二次函數(shù)解析式，利用頂點(diǎn)式解析式即可求得最大值；（3）當(dāng)四邊形為菱形時(shí)四條邊相等，故△BCP為等腰三角形，分三種情況，根據(jù)兩邊相等求得m值

解：（1）對(duì)于，

令，得，

∴ ．

將，代入，

得

解得

故拋物線的解析式為．

（2）易得，，

∴

∵ 點(diǎn)在直線下方的拋物線上，

∴ ．

∵

∴ 當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度有最大值，為．

（3）存在，的值為，，或．

解法提示：當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，必為等腰三角形．

由，，，

得，，

．

分以下三種情況討論．

①當(dāng)時(shí)，，

即，

解得（不合題意，舍去），．

②當(dāng)時(shí)，，

即，

解得，．

③當(dāng)時(shí)，，

即，

解．

綜上可知，的值為，，或．