【題目】四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,連接AC、BD,2∠BDC+∠ADB=180°.
(1)如圖1,求證:AC=BC;
(2)如圖2,E為⊙O上一點, =,F為AC上一點,DE與BF相交于點T,連接AT,若∠BFC=∠BDC+∠ABD,求證:AT平分∠DAB;
(3)在(2)的條件下,DT=TE,AD=8,BD=12,求DE的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)8
【解析】
(1)只要證明∠CAB=∠CBA即可.
(2)如圖2中,作TH⊥AD于H,TR⊥BD于R,TL⊥AB于L.想辦法證明TL=TH即可解決問題.
(3)如圖3中,連接EA,EB,作EG⊥AB,TH⊥AD于H,TR⊥BD于R,TL⊥AB于L,AQ⊥BD于Q.證明△EAG≌△TDH(AAS),推出AG=DH,證明Rt△TDR≌Rt△TDH(HL),推出DH=DR,同理可得AL=AH,BR=BL,設(shè)DH=x,則AB=2x,
由S△ADB=BDAQ=ADh+ABh+DBh,可得AQ=h,再根據(jù)sin∠BDE=sin∠ADE,sin∠AED=sin∠ABD,構(gòu)建方程組求出m即可解決問題.
解:(1)如圖1中,
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
即∠ADB+∠BDC+∠ABC=180°,
∵2∠BDC+∠ADB=180°,
∴∠ABC=∠BDC,
∵∠BAC=∠BDC,
∴∠BAC=∠ABC,
∴AC=BC.
(2)如圖2中,作TH⊥AD于H,TR⊥BD于R,TL⊥AB于L.
∵∠BFC=∠BAC+∠ABF,∠BAC=∠BDC,
∴∠BFC=∠BDC+∠ABF,
∵∠BFC=∠BDC+∠ABD,
∴∠ABF=∠ABD,
∴BT平分∠ABD,
∵ =
∴∠ADE=∠BDE,
∴DT平分∠ADB,
∵TH⊥AD于H,TR⊥BD于R,TL⊥AB于L.
∴TR=TL,TR=TH,
∴TL=TH,
∴AT平分∠DAB.
(3)如3中,連接EA,EB,作EG⊥AB,TH⊥AD于H,TR⊥BD于R,TL⊥AB于L,AQ⊥BD于Q.
∵ =
∴∠EAB=∠EDB=∠EDA,AE=BE,
∵∠TAE=∠EAB+∠TAB,∠ATE=∠EDA+∠DAT,
∴∠TAE=∠ATE,
∴AE=TE,
∵DT=TE,
∴AE=DT,
∵∠AGE=∠DHT=90°,
∴△EAG≌△TDH(AAS),
∴AG=DH,
∵AE=EB,EG⊥AB,
∴AG=BG,
∴2DH=AB,
∵Rt△TDR≌Rt△TDH(HL),
∴DH=DR,同理可得AL=AH,BR=BL,
設(shè)DH=x,則AB=2x,
∵AD=8,DB=12,
∴AL=AH=8﹣x,BR=12﹣x,AB=2x=8﹣x+12﹣x,
∴x=5,
∴DH=5,AB=10,
設(shè)TR=TL=TH=h,DT=m,
∵S△ADB=BDAQ=ADh+ABh+DBh,
∴12AQ=(8+12+10)h,
∴AQ=h,
∵sin∠BDE=sin∠ADE,可得==,
sin∠AED=sin∠ABD,可得===,
∴=,
解得m=4或﹣4(舍棄),
∴DE=2m=8.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙人5場10次投籃命中次數(shù)如圖
(1)填寫表格.
平均數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
甲 | ______ | 8 | 8 | ______ |
乙 | 8 | ______ | ______ | 3.2 |
(2)①教練根據(jù)這5個成績,選擇甲參加投籃比賽,理由是什么?
②如果乙再投籃1場,命中8次,那么乙的投監(jiān)成績的方差將會怎樣變化?(“變大”“變小”或”不變”)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=90°,且OA,OB分別與反比例函數(shù)y=(x>0)、y=﹣(x<0)的圖象交于A,B兩點,則sin∠OAB的值是( 。
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,M,N是以AB為直徑的⊙O上的點,且=,弦MN交AB于點C,BM平分∠ABD,MF⊥BD于點F.
(1)求證:MF是⊙O的切線;
(2)若CN=3,BN=4,求CM的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,以下結(jié)論:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④其頂點坐標(biāo)為(,﹣2);⑤當(dāng)x<時,y隨x的增大而減;⑥a+b+c>0正確的有( 。
A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y=-與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于A、B兩點,且點A的橫坐標(biāo)和點B的縱坐標(biāo)都是-2.
求:(1)一次函數(shù)的解析式;
(2)△AOB的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形的邊長為,是邊上一點,,將,分別沿折痕,向內(nèi)折疊,點,在點處重合,過點作,交的延長線于.則下列結(jié)論正確的有( )
①;②為等腰直角三角形;③點是的中點;④.
A.個B.個C.個D.個
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)在很多家庭都使用折疊型西餐桌來節(jié)省空間,兩邊翻開后成圓形桌面(如圖1).餐桌兩邊AB和CD平行且相等(如圖2),小華用皮帶尺量出AC=2米,AB=1米,那么桌面翻成圓桌后,桌子面積會增加_____平方米.(結(jié)果保留π)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B為x軸上兩點,C、D為y軸上的兩點,經(jīng)
過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線,我們把這條封
閉曲線稱為“蛋線”.已知點C的坐標(biāo)為(0,),點M是拋物線C2:(<0)的頂點.
(1)求A、B兩點的坐標(biāo);
(2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)△BDM為直角三角形時,求的值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com