【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD,過(guò)A點(diǎn)作AMBCM,交BDE,過(guò)C點(diǎn)作CNADN,交BDF,連接AF、CE.

(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形;

(2)當(dāng)AECF為菱形,M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí),求AB:AE的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)AB:AE=:1.

【解析】1)證明四邊形ABCD是平行四邊形(已知),

∴BC∥AD(平行四邊形的對(duì)邊相互平行)。

∵AMBC(已知),∴AM⊥AD。

∵CNAD(已知),∴AM∥CN。∴AE∥CF

又由平行得∠ADE=∠CBD,又AD=BC(平行四邊形的對(duì)邊相等)。

△ADE△CBF中, ∠DAE=∠BCF="90" AD=CB,∠ADE=∠FBC

∴△ADE≌△CBFASA),∴AE=CF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。

四邊形AECF為平行四邊形(對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)。

2)如圖,連接ACBF于點(diǎn)0,當(dāng)AECF為菱形時(shí),則ACEF互相垂直平分。

∵BO=OD(平行四邊形的對(duì)角線相互平分),

∴ACBD互相垂直平分。

ABCD是菱形(對(duì)角線相互垂直平分的平行四邊形是菱形)。

∴AB=BC(菱形的鄰邊相等)。

∵M(jìn)BC的中點(diǎn),AMBC(已知),∴△ABM≌△CAM。

∴AB=AC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。∴△ABC為等邊三角形。

∴∠ABC=60°∠CBD=30°。

Rt△BCF中,CFBC=tan∠CBF=。

∵AE=CFAB=BC,∴ABAE=。

1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、垂直的定義、平行線的判定定理可以推知AE∥CF;然后由ASA推知△ADE≌△CBF;最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知AE=CF,根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定得出結(jié)論。

2)如圖,連接ACBF于點(diǎn)0.由菱形的判定定理推知平行四邊形ABCD是菱形,根據(jù)菱形的鄰邊相等知AB=BC;然后結(jié)合已知條件“MBC的中點(diǎn),AMBC”證得△ADE≌△CBFASA),所以AE=CF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),從而證得△ABC是正三角形;最后在Rt△BCF中,利用銳角三角函數(shù)的定義求得CFBC=tan∠CBF=,利用等量代換知(AE=CFAB=BCABAE=。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)直接寫出B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo);

2)將矩形ABCD向右平移m個(gè)單位,使點(diǎn)A、C恰好同時(shí)落在反比例函數(shù))的圖象上,得矩形A′B′C′D′.求矩形ABCD的平移距離m和反比例函數(shù)的解析式.

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A. (-3,0) B. (-6,0) C. (-,0) D. (-,0)

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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于點(diǎn)Pa,b和點(diǎn)Qa,b,給出如下定義:若,則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的限變點(diǎn),例如:點(diǎn)(2,3)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,3),點(diǎn)2,5的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是2,5。

1)在點(diǎn)A2,1,B1,2中有一個(gè)點(diǎn)是函數(shù)y=圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)是 ;

2)求點(diǎn)1的限變點(diǎn)的坐標(biāo);

3)若點(diǎn)P在函數(shù)yx32xk,k2的圖象上,其限變點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)b的取值范圍是5b2,求k的取值范圍。

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1)根據(jù)上述信息可知:甲命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是 環(huán),乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是 環(huán);

2)試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明甲、乙兩人的成績(jī)誰(shuí)比較穩(wěn)定?

3)如果乙再射擊1次,命中8環(huán),那么乙射擊成績(jī)的方差會(huì) .(填 變大、變小 不變

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進(jìn)價(jià)(元/只)

售價(jià)(元/只)

甲型

乙型

(1)如何進(jìn)貨,進(jìn)貨款恰好為?

(2)設(shè)商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲種節(jié)能燈只,求出商場(chǎng)銷售完節(jié)能燈時(shí)總利潤(rùn)與購(gòu)進(jìn)甲種節(jié)能燈之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)如何進(jìn)貨,商場(chǎng)銷售完節(jié)能燈時(shí)獲利最多且不超過(guò)進(jìn)貨價(jià)的,此時(shí)利潤(rùn)為多少元?

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