Question

如圖，如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠ABC=2∠C，求證：AC²=AB²+AB•BC．

 

 

Answer 1

【答案】

見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：為了把∠ABC=2∠C轉(zhuǎn)化成兩個(gè)角相等的條件，可以構(gòu)造輔助線：在DC上取DE=BD，連接AE．

根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理的推論能夠證明AB=CE．再根據(jù)勾股定理表示出AC²，AB²．再運(yùn)用代數(shù)中的公式進(jìn)行計(jì)算就可證明．

如圖，在DC上取DE=BD，連接AE．

則AE=AB，

∴∠ABC=∠AEB．

∵∠ABC=2∠C，

又∵∠AEB=∠C+∠EAC，

∴∠EAC=∠C，

∴AE=EC，

∴CE=AB．

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∵AC²=AD²+CD²，AB²=AD²+BD²，

∴AC²-AB²=（AD²+CD²）-（AD²+BD²）

=CD²-BD²

=（CD+BD）（CD-BD）

=BC•（CD-DE）

=BC•CE=BC•AB．

即AC²=AB²+BC•AB．

考點(diǎn)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理的推論、等角對(duì)等邊、勾股定理以及平方差公式的知識(shí)．