Question

如圖，在半徑為r的半圓⊙O中，半徑OA⊥直徑BC，點E、F分別在弦AB、AC上滑動并保持AE=CF，但點F不與A、C重合，點E不與A、B重合．
（1）求證：S_{四邊形AEOF}=

1

2

r²；
（2）設(shè)AE=x，S_△OEF=y，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的范圍；
（3）當(dāng)S_△OEF=

5

18

S_△ABC時，求點E、F分別在AB、AC上的位置及EF的長．

Answer 1

分析：（1）先證△AOE≌△COF，可知四邊形AEOF的面積=△AOC的面積=

1

2

r²；
（2）利用S_△OEF=S_{四邊形AEOF}-S_△AEF，可求得y=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²（0＜x＜

2

r）；
（3）當(dāng)S_△OEF=

5

18

S_△ABC時，y=

5

18

r²，即

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²=

5

18

r²，解得x₁=

2

3

r，x2=

2 2

3

r，根據(jù)直角三角形邊長之間的關(guān)系可知EF=

10

3

r．

解答：（1）證明：∵OA=OC，AE=CF，∠EAO=∠C=45°
∴△AOE≌△COF，
∴四邊形AEOF的面積=△AOC的面積=

1

2

r²．

（2）解：∵S_△OEF=S_{四邊形AEOF}-S_△AEF=

1

2

r²-

1

2

（

2

r-x）•x=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²，
∴y=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²（0＜x＜

2

r）

（3）解：當(dāng)S_△OEF=

5

18

S_△ABC時，y=

5

18

r²
∴

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²=

5

18

r²
∴x₁=

2

3

r，x2=

2 2

3

r，
∴

AE

AB

=

1

3

，

AF

AC

=

2

3

或

AE

AB

=

2

3

，

AF

AC

=

1

3

即AE=

1

3

AB，AF=

2

3

AC或AE=

2

3

AB，AF=

1

3

AC．
∴EF=

10

3

r．

點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識點有三角形全等的證明，用含x的式子表示線段的長度并根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)表示出面積之間的關(guān)系以及直角三角形和一元二次方程的實際運用等．要熟練掌握才能靈活運用．